электродинамика. теория излучения: методические указания к практическим занятиям по курсу

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Воронежский государственный университет Физический факультет Кафедра теоретической физики Методические указания по курсу “Электродинамика”, раздел: “Теория излучения” для студентов 3 курса физического факультета спец. 010400, 071500, 200200 дневного и вечернего отделений Составители: проф. С.А. Запрягаев асс. А.А. Крыловецкий ВОРОНЕЖ 2001 2 Общие определения a Скалярный и векторный потенциалы произвольной системы зарядов с плотностью ρ(r, t) и токов с плотностью j(r, t) (рис. 1) определяются выражениями: z  0  Z ρ r0 , t − |r − r | c dV 0 , (1) ϕ(r, t) = 0 |r − r | j(r’,t)  0  r r’ dV’ Z j r0 , t − |r − r | 1 c A(r, t) = dV 0 . (2) 0| c |r − r y Известно [1], что система произвольно движущихся зарядов излучает x электромагнитное поле. В соответствии с общей теорией излучения особое значение Рис. 1. имеет поле, созданное системой зарядов в волновой зоне или на расстояниях r  c/ω. Здесь r - расстояние до точки наблюдения от системы зарядов, ω - частота электромагнитного поля, c скорость света. Если r  c/ω  a, где a - характерные размеры системы, векторный потенциал (2) можно разложить в ряд по переменной (r · r0 )/cr, что соответствует разложению по малому параметру a/(c/ω)  1. В этом случае первые три члена разложения векторного потенциала имеют вид [1]: A(r, t) = ˙ ) [µ(τ ¨ ) d(τ ˙ ) × n] Q(τ + + 2 + ..., cr cr 6c r (3) где n = r/r – единичный радиус-вектор точки наблюдения, τ = t − r/c – время запаздывания, d – дипольный момент системы зарядов, µ – магнитный момент системы токов, а Q – вектор, декартовы компоненты которого определены следующим соотношением: Qi = 3 X Qik nk , i ∈ 1, 2, 3. (4) k=1 Здесь Qik – компоненты тензора квадрупольного момента системы, nk – компоненты единичного радиус-вектора. В выражении (3) точка над функцией обозначает дифференцирование по времени. Так как в волновой зоне вектор напряженности электрического поля E связан с вектором индукции B равенством E = [B × n], для определения электромагнитного поля достаточно определить вектор индукции магнитного 3 поля B = rot A. В результате: ... ¨ ) × n] [[µ(τ ¨ ) × n] × n] [Q × n] [d(τ + + + ... B(r, t) = c2 r c2 r 6c3 r (5) В произвольной точке волновой зоны плотность потока энергии определяется вектором Умова-Пойнтинга: c cB 2 s= [E × B] = n. 4π 4π (6) Таким образом, энергия электромагнитного поля, излученная системой в единицу времени по всем направлениям (интенсивность излучения), определяется выражением: ...2 I ¨ 2 (τ ) 2µ 2d ¨ 2 (τ ) Qαβ (τ ) I = (s · dS) = + + + . . . = Id + Iµ + IQ + . . . (7) 3 3 5 3c 3c 180c S Слагаемые в выражении (7) определяют интенсивность электрически-дипольного (E1), магнитно-дипольного (M1) и электрически-квадрупольного излучения (Е2), соответственно. 1 Интенсивность электрически-дипольного излучения В соответствии с (7) интенсивность электрически-дипольного излучения определяется выражением: Id (t) = ¨ 2 (τ ) 2d dE = , dt 3c3 τ = t − r/c, (8) ¨ – вторая производная по времени от дипольного момента системы. где d Энергия, излученная системой за конечный интервал времени от tн до tк , есть: Ztк E= I dt. (9) tн Если tн = −∞ и tк = +∞, выражение (9) определяет полную энергию, излученную системой. Пример 1.1 Через к