E-Book Overview
В традиционном вузовском и школьном образовании уделяется недостаточное внимание поведению нелинейных систем из-за сложности аналитических методов их исследования. В таких случаях моделирование явления может рассказать нам больше, чем математика. Так, хорошо всем нам известный маятник, будучи нелинейной системой, может обнаружить большое число необычных и не всегда до конца исследованных видов движения
E-Book Content
Áóòèêîâ Å.È.
Áóòèêîâ Åâãåíèé Èâàíîâè÷
ÍÅÎÁÛ×ÍÎÅ ÏÎÂÅÄÅÍÈÅ ÌÀßÒÍÈÊÀ ÏÐÈ ÑÈÍÓÑÎÈÄÀËÜÍÎÌ ÂÍÅØÍÅÌ ÂÎÇÄÅÉÑÒÂÈÈ 1. ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Åñëè çàäàòüñÿ âîïðîñîì, êàêîé ôèçè÷åñêèé ïðèáîð îñòàâèë íàèáîëåå ãëóáîêèé ñëåä â èñòîðèè ôèçèêè, ñêîðåå âñåãî ïåðâàÿ ìûñëü áóäåò î ìàÿòíèêå. Íà÷èíàÿ ñ îïûòîâ Ãàëèëåÿ â 16 âåêå è âïëîòü äî íàøèõ äíåé ìàÿòíèê èñïîëüçóåòñÿ â ðàçíîîáðàçíûõ ïðèáîðàõ äëÿ èçìåðåíèÿ âðåìåíè è íàïðÿæåííîñòè ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ è, ÷òî íå ìåíåå âàæíî, ñëóæèò ïðîáíûì êàìíåì äëÿ ìíîãèõ ôèçè÷åñêèõ òåîðèé. Ýòà çíàìåíèòàÿ ìåõàíè÷åñêàÿ ñèñòåìà èíòåðåñíà è ïîëåçíà íå òîëüêî ñàìà ïî ñåáå êàê íàèáîëåå çíàêîìûé ïðèìåð íåëèíåéíîãî ìåõàíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà, íî åùå è ïîòîìó, ÷òî ìíîãèå çàäà÷è â ðàçíûõ îáëàñòÿõ ñîâðåìåííîé ôèçèêè ïðèâîäÿòñÿ ê äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ, îïèñûâàþùåìó äâèæåíèå ìàÿòíèêà. Ìåõàíè÷åñêèå àíàëîãè ôèçè÷åñêèõ ñèñòåì äîïóñêàþò ïðÿìóþ âèçóàëèçàöèþ äâèæåíèÿ è ýòèì î÷åíü ïîëåçíû äëÿ ôîðìèðîâàíèÿ èíòóèòèâíûõ ïðåäñòàâëåíèé î ñëîæíûõ ÿâëåíèÿõ. Äåòàëüíî ðàçîáðàâøèñü ñ ïîâåäåíèåì ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû è èñïîëüçóÿ àíàëîãèþ ìåæäó êîëåáàòåëüíûìè ñèñòåìàìè ðàçíîé ôèçè÷åñêîé ïðèðîäû, ìîæíî çíà÷èòåëüíî ïðîäâèíóòüñÿ â ïîíèìàíèè ðàçíîîáðàçíûõ ýëåêòðîìàãíèòíûõ è îïòè÷åñêèõ íåëèíåéíûõ ÿâëåíèé, ãäå âñå äàëåêî íå òàê íàãëÿäíî, õîòÿ ñîîòâåòñòâóþùèå ñèñòåìû îïèñûâàþòñÿ ñõîäíûìè äèôôåðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè. Òðàäèöèîííî â âóçîâñêèõ è øêîëüíûõ êóðñàõ èìååòñÿ çíà÷èòåëüíûé ïåðåêîñ â
30
ñòîðîíó èçó÷åíèÿ ëèíåéíûõ ñèñòåì, äëÿ êîòîðûõ âîçìîæíû àíàëèòè÷åñêèå ðåøåíèÿ, à âîïðîñàì ïîâåäåíèÿ íåëèíåéíûõ ñèñòåì óäåëÿåòñÿ íåäîñòàòî÷íîå âíèìàíèå.  çíà÷èòåëüíîé ìåðå òàêîå ïîëîæåíèå îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî ñóùåñòâóþùèå àíàëèòè÷åñêèå ìåòîäû èññëåäîâàíèÿ íåëèíåéíûõ êîëåáàòåëüíûõ ñèñòåì ñëèøêîì ñëîæíû, è ïðè ýòîì íå â ñîñòîÿíèè îïèñàòü íàáëþäàåìîå â ýêñïåðèìåíòå ðàçíîîáðàçèå èõ ïîâåäåíèÿ. Èñïîëüçîâàíèå êîìïüþòåðíîãî ìîäåëèðîâàíèÿ â ó÷åáíîì ïðîöåññå ïîçâîëÿåò äî íåêîòîðîé ñòåïåíè óñòðàíèòü ñóùåñòâóþùèé ïåðåêîñ â ïðåïîäàâàíèè ôèçèêè êîëåáàíèé. Èíîãäà ìîäåëèðîâàíèå ìîæåò ðàññêàçàòü íàì îá èçó÷àåìîé ñèñòåìå áîëüøå, ÷åì ìàòåìàòèêà. Íà ïðèëàãàåìîì ê æóðíàëó äèñêå ïîìåùåíà ìîäåëèðóþùàÿ ïðîãðàììà, ïîçâîëÿþùàÿ íàáëþäàòü ïîâåäåíèå ìàÿòíèêà ïîä äåéñòâèåì âíåøíåé ñèëû, ñèíóñîèäàëüíî èçìåíÿþùåéñÿ ñî âðåìåíåì. Ìîæåò ïîêàçàòüñÿ, ÷òî îáû÷íûé ìàÿòíèê ïîä äåéñòâèåì ñèíóñîèäàëüíîé ñèëû äîëæåí äåìîíñòðèðîâàòü âïîëíå ïîíÿòíîå ïîâåäåíèå, õîðîøî ñîãëàñóþùååñÿ ñ íàøåé èíòóèöèåé. Íî íåñìîòðÿ íà êàæóùóþñÿ ïðîñòîòó ýòîò âñåì íàì çíàêîìûé ìàÿòíèê, áóäó÷è íåëèíåéíîé ñèñòåìîé, îáíàðóæèâàåò áîëüøîå ÷èñëî âåñüìà íåîáû÷íûõ âèäîâ äâèæåíèÿ, ìíîãèå èç êîòîðûõ åùå äî êîíöà íå èçó÷åíû. Ðåàêöèÿ íåëèíåéíûõ ñèñòåì íà ãàðìîíè÷åñêîå âîçäåéñòâèå íå ÿâëÿåòñÿ ñèíóñîèäàëüíîé, è îòíîñèòåëüíî ýòîé ðåàêöèè
© ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÅ ÈÍÑÒÐÓÌÅÍÒÛ Â ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÈ. ¹ 1, 2008 ã.
Íåîáû÷íîå ïîâåäåíèå ìàÿòíèêà ïðè ñèíóñîèäàëüíîì âíåøíåì âîçäåéñòâèè â îáùåì ñëó÷àå íåâîçìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü êàêèå-ëèáî óíèâåðñàëüíûå óòâåðæäåíèÿ. Îòêëèê íåëèíåéíîé ñèñòåìû çà÷àñòóþ íåîäíîçíà÷åí óñòàíîâèâøååñÿ äâèæåíèå ìîæåò èìåòü ðàçíûé õàðàêòåð â çàâèñèìîñòè îò íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ. Ñïåêòð âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé ìîæåò ñîäåðæàòü ñóáãàðìîíè÷åñêèå ÷àñòîòû, âûðàæàåìûå ðàöèîíàëüíîé äðîáüþ ÷àñòîòû âûíóæäàþùåãî âîçäåéñòâèÿ.  íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ îòêëèê íåëèíåéíîé ñèñòåìû íà ðåãóëÿðíîå âîçäåéñòâèå ìîæåò áûòü õàîòè÷åñêèì, à ìàëîå èçìåíåíèå ÷àñòîòû èëè àìïëèòóäû âîçäåéñòâèÿ ìîæåò ïðèâåñòè ê êà÷åñòâåííîìó èçìåíåíèþ îòêëèêà ñèñòåìû. Êîíòðàñò ñ ïîâåäåíèåì ëèíåéíûõ ñèñòåì ïîèñòèíå ïîðàçèòåëåí. 2. ÌÀÒÅÌÀÒÈ×Å