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Allgemeine Topologie I von Dr. René Bartsch
Oldenbourg Verlag München Wien
Dr. René Bartsch studierte Mathematik und Philosophie. Er lehrt derzeit am Institut für Mathematik und an der Fakultät für Informatik und Elektrotechnik der Universität Rostock.
Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar.
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die meisten menschen glauben an niederlagen. sie siegen nie und glauben, die welt habe also recht. wie albern. ronald. m. schernikau, legende“ ”
Inhaltsverzeichnis Vorwort
XI
1
Mengentheoretische Grundlagen
3
1.1 1.1.1 1.1.2
Mengen, Relationen, Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mengen und Mengenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Relationen und Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 3 5
1.2 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.2.5
Axiomatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Einleitende Dar- und Klarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Was soll am Begriff Menge“ eigentlich unklar sein? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ” Die hoffentlich harmlosen 10 Gebote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das Auswahlaxiom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ordinalzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13 13 15 16 21 31
1.3
M¨ achtigkeiten, Kardinalzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.4 1.4.1 1.4.2 1.4.3
Filter und Ultrafilter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Einige Definitionen und elementare Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Filter und Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wie viele Ultrafilter gibt es auf einer Menge? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45 46 52 58
L¨ osungsvorschl¨ age . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2
Das Konzept Topologischer Raum
65
2.1
Metrische R¨ aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.2 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5
Topologische R¨ aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Offener Kern und abgeschlossene H¨ ulle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vergleich und Erzeugung von Topologien. .