Allgemeine Topologie I

Allgemeine Topologie I von Dr. René Bartsch Oldenbourg Verlag München Wien Dr. René Bartsch studierte Mathematik und Philosophie. Er lehrt derzeit am Institut für Mathematik und an der Fakultät für Informatik und Elektrotechnik der Universität Rostock. Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. © 2007 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH Rosenheimer Straße 145, D-81671 München Telefon: (089) 45051-0 oldenbourg.de Das Werk einschließlich aller Abbildungen ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Bearbeitung in elektronischen Systemen. Lektorat: Dr. Margit Roth Herstellung: Anna Grosser Coverentwurf: Kochan & Partner, München Gedruckt auf säure- und chlorfreiem Papier Druck: Grafik + Druck, München Bindung: Thomas Buchbinderei Augsburg ISBN 978-3-486-58158-4 die meisten menschen glauben an niederlagen. sie siegen nie und glauben, die welt habe also recht. wie albern. ronald. m. schernikau, legende“ ” Inhaltsverzeichnis Vorwort XI 1 Mengentheoretische Grundlagen 3 1.1 1.1.1 1.1.2 Mengen, Relationen, Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mengen und Mengenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Relationen und Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 5 1.2 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.2.5 Axiomatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Einleitende Dar- und Klarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Was soll am Begriff Menge“ eigentlich unklar sein? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ” Die hoffentlich harmlosen 10 Gebote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das Auswahlaxiom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ordinalzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 13 15 16 21 31 1.3 M¨ achtigkeiten, Kardinalzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.4 1.4.1 1.4.2 1.4.3 Filter und Ultrafilter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Einige Definitionen und elementare Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Filter und Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wie viele Ultrafilter gibt es auf einer Menge? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 46 52 58 L¨ osungsvorschl¨ age . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2 Das Konzept Topologischer Raum 65 2.1 Metrische R¨ aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2.2 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5 Topologische R¨ aume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Offener Kern und abgeschlossene H¨ ulle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vergleich und Erzeugung von Topologien. .