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Fusion Systems: Group theory, representation theory, and topology David A. Craven Michaelmas Term, 2008
Contents Preface
iii
1 Fusion in Finite Groups
1
1.1
Control of Fusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Normal p-Complements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.3
Alperin’s Fusion Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.4
Fusion Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.5
Frobenius’ Normal p-Complement Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2 Representation Theory
19
2.1
Blocks and the Brauer morphism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.2
Brauer Pairs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
2.3
Block Fusion Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
3 Basics of Fusion Systems
27
3.1
The Equivalent Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
3.2
Local Subsystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
3.3
Centric and Radical Subgroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
3.4
Alperin’s Fusion Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
4 Normal Subsystems, Quotients, and Morphisms
39
4.1
Morphisms of Fusion Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
4.2
Normal Subgroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
4.3
Normal Fusion Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
4.4
Strongly Normal Fusion Systems
45
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Simple Fusion Systems
47
6 Centric Linking Systems
50
6.1
The Nerve of a Category . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
50
6.2
Classifying Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
6.3
The Centric Linking Systems of Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
6.4
Centric Linking Systems for Fusion Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
6.5
Obstructions to Centric Linking Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
7 Glauberman Functors and Control of Fusion
60
7.1
Glauberman Functors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
7.2
The ZJ-Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
7.3
Fusion system p-complement theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
7.4
Transfer and Thompson Factorization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
8 The Generalized Fitting Subsystem
67
8.1
Characteristic, Subnormal, and Central Subsystems . . . . . . . . . . . . . .
67
8.2
Quasisimple Subsystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
8.3
Components and the Generalized Fitting Subsystem . . . . . . . . . . . . . .
70
8.4
Balance for Quasisimple Subsystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
9 Open Problems a