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Fusion Systems: Group theory, representation theory, and topology David A. Craven Michaelmas Term, 2008 Contents Preface iii 1 Fusion in Finite Groups 1 1.1 Control of Fusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Normal p-Complements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Alperin’s Fusion Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Fusion Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5 Frobenius’ Normal p-Complement Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 Representation Theory 19 2.1 Blocks and the Brauer morphism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2 Brauer Pairs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3 Block Fusion Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3 Basics of Fusion Systems 27 3.1 The Equivalent Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2 Local Subsystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.3 Centric and Radical Subgroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.4 Alperin’s Fusion Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4 Normal Subsystems, Quotients, and Morphisms 39 4.1 Morphisms of Fusion Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.2 Normal Subgroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.3 Normal Fusion Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.4 Strongly Normal Fusion Systems 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Simple Fusion Systems 47 6 Centric Linking Systems 50 6.1 The Nerve of a Category . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i 50 6.2 Classifying Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 6.3 The Centric Linking Systems of Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 6.4 Centric Linking Systems for Fusion Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 6.5 Obstructions to Centric Linking Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 7 Glauberman Functors and Control of Fusion 60 7.1 Glauberman Functors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 7.2 The ZJ-Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 7.3 Fusion system p-complement theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 7.4 Transfer and Thompson Factorization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 8 The Generalized Fitting Subsystem 67 8.1 Characteristic, Subnormal, and Central Subsystems . . . . . . . . . . . . . . 67 8.2 Quasisimple Subsystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 8.3 Components and the Generalized Fitting Subsystem . . . . . . . . . . . . . . 70 8.4 Balance for Quasisimple Subsystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 9 Open Problems a