итерационные методы для операторных уравнений с сопряженно-факторизованной структуре

Сибирский математический журнал Март—апрель, 2000. Том 41, № 2 УДК 518.61 ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ С СОПРЯЖЕННО–ФАКТОРИЗОВАННОЙ СТРУКТУРОЙ А. Н. Коновалов Аннотация: Для эллиптических операторных уравнений в конечномерных евклидовых пространствах предложен и обоснован новый класс экономичных итерационных методов нахождения нормального обобщенного решения. Основная идея заключается в переходе от эллиптического оператора краевой задачи к его энергетическому расширению, которое имеет сопряженно-факторизованную структуру. Этот переход позволяет свести исходную операторную задачу к системе сопряженных операторных уравнений. Для сопряженной системы удается построить сходящиеся экономичные классы итерационных методов, которые не выводят из подпространств разрешимости. Именно этим подпространствам принадлежат нормальные решения сопряженных задач. Библиогр. 25. § 1. Постановка задачи Пусть в конечномерном евклидовом пространстве H ∗ ищется решение линейного операторного уравнения Au = f, u ∈ H ∗, f ∈ H ∗, (1.1) с вырожденным оператором A. Как известно [1], пространство H ∗ может быть представлено в виде прямой суммы ортогональных подпространств H ∗ = im A ⊕ ker A∗ = im A∗ ⊕ ker A. (1.2) Представлениям (1.2) соответствуют ортогональные разложения f = f1 + f2 , f1 ∈ im A, f2 ∈ ker A∗ , (f1 , f2 ) = 0; u = u1 + u2 , u1 ∈ im A∗ , u2 ∈ ker A, (u1 , u2 ) = 0. (1.3) Известно также [1], что ортогональность f ядру оператора A∗ является необходимым и достаточным условием разрешимости (совместности) операторного уравнения (1.1). Для совместной задачи (1.1) f ∈ im A и в (1.3) f2 = 0. Если же f2 6= 0, то задачу (1.1) называют несовместной, решения такой задачи в обычном смысле не существует. Обобщенным решением задачи (1.1) называют элемент u ¯ ∈ H ∗ , который доставляет минимум функционалу метода наи