E-Book Content
Сибирский математический журнал Май—июнь, 2007. Том 48, № 3
УДК 512.543+512.547+515.162.8
ОБ АППРОКСИМАЦИОННЫХ СВОЙСТВАХ ГРУПП ЗАЦЕПЛЕНИЙ В. Г. Бардаков, Р. В. Михайлов Аннотация: Изучаются аппроксимационные свойства конечно порожденных линейных групп. Как приложение рассматриваемых методов получена аппроксимируемость конечными 2-группами групп зацеплений Уайтхеда, колец Борромео (ответ на вопрос Кохрана) и некоторых других зацеплений. Также показано, что любое зацепление является подзацеплением некоторого зацепления, группа которого аппроксимируется конечными 2-группами. Ключевые слова: группа зацепления, аппроксимируемость нильпотентными группами, аппроксимируемость конечными p-группами, линейное представление, арифметическая группа.
1. Введение Пусть F — некоторая система групп. Говорят, что группа G аппроксимируется группами из F или F -аппроксимируема, если для каждого отличного от единицы элемента g из G существует такое гомоморфное отображение группы G на одну из групп из F , при котором образ элемента g отличен от единицы (см. [1]). Непосредственно из определения следует, что группа G аппроксимируется нильпотентными группами тогда и только тогда, когда пересе∞ γi (G), γ1 (G) = G, чение всех членов ее нижнего центрального ряда γω (G) = i=1
γi+1 (G) = [γi (G), G], i = 1, 2, . . . , тривиально. Аналогично группа финитно аппроксимируема, т. е. аппроксимируется конечными группами, тогда и только тогда, когда в ней существует убывающий ряд нормальных подгрупп конечного индекса с тривиальным пересечением. Как известно, следствием гипотезы Т¨ерстона о геометризации является финитная аппроксимируемость групп 3-многообразий [2]. Вместе с тем финитная аппроксимируемость некоторых групп 3-многообразий может быть доказана и без этой гипотезы. Например, в [2] показано, что фундаментальные группы хакеновских 3-многообразий финитно аппроксимируемы. Доказательство фини