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S´eminaire BOURBAKI 51`eme ann´ee, 1998-99, no 860
Juin 1999
´ ´ ES ´ p-ADIQUES INTEGRATION SUR LES VARIET [d’apr` es Coleman, Colmez] par Christophe BREUIL
Table des mati` eres Introduction Conventions et notations 1. Construction de l’int´egration p-adique 1.1. La construction de Colmez ´ 1.1.1. Enonc´ e du th´eor`eme 1.1.2. Description de la preuve 1.1.3. Le point de vue de Zarhin 1.2. La construction de Coleman 1.2.1. Quelques mots d’introduction sur la g´eom´etrie rigide 1.2.2. Int´egration des formes de seconde esp`ece 2. Applications 2.1. L’accouplement des p´eriodes p-adiques + 2.1.1. Quelques rappels sur BdR 2.1.2. Accouplement des p´eriodes p-adiques : ´enonc´e du th´eor`eme 2.1.3. Esquisse de preuve et relations de Riemann p-adiques 2.2. Les polylogarithmes p-adiques 2.2.1. It´eration de l’int´egration sur les courbes 2.2.2. Construction des polylogarithmes p-adiques 2.3. Autres applications ´ ERENCES ´ REF
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Introduction Soit X une vari´et´e alg´ebrique lisse sur le corps R des nombres r´eels. Les points de X `a valeurs dans R ou dans C, que l’on note X(R) et X(C), forment une vari´et´e analytique
860-02 r´eelle ou complexe, sur laquelle on dispose de tout l’arsenal de la th´eorie classique de l’int´egration, d´evelopp´e principalement avant le d´ebut du XX e si`ecle. Depuis l’introduction par Hensel des nombres p-adiques et de la topologie p-adique dans les ann´ees 1900, les math´ematiciens n’ont eu de cesse d’´etendre `a Q p ce qu’ils savaient faire sur R. Ainsi peut-on se demander s’il existe une th´eorie de l’int´egration sur X(Q p ) lorsque X est une vari´et´e alg´ebrique lisse sur Q p . Or, la topologie p-adique est tr`es diff´erente de la topologie classique car elle est totalement discontinue, c’est-`a-dire que tout point poss`ede une base de voisinages `a la fois ouverts et f