знакомство с суперматематикой

INTRODUCING SUPERMATHEMATICS I. L. BUCHBINDER ЗНАКОМСТВО С СУПЕРМАТЕМАТИКОЙ à. ã. ÅìïÅàçÑÖê © ÅÛı·Ë̉Â à.ã., 1998 The basic ideas and elementary construction of algebra and analysis with anticommuting variables are discussed. The notion of algebra is considered as one of the fundamental notions of modern mathematics, with references to its special types. The notion of Grassman algebra is introduced and elements of analysis with anticommuting variables are discussed. è‰ÒÚ‡‚ÎÂÌ˚ ÓÒÌÓ‚Ì˚ ˉÂË Ë ˝ÎÂÏÂÌÚ‡Ì˚ ÍÓÌÒÚÛ͈ËË ‡Î„·˚ Ë ‡Ì‡ÎËÁ‡ Ò ‡ÌÚËÍÓÏÏÛÚËÛ˛˘ËÏË ˜ËÒ·ÏË. ê‡ÒÒχÚË‚‡ÂÚÒfl Ó‰ÌÓ ËÁ ÙÛ̉‡ÏÂÌڇθÌ˚ı ÔÓÌflÚËÈ ÒÓ‚ÂÏÂÌÌÓÈ Ï‡ÚÂχÚËÍË – ÔÓÌflÚË ‡Î„·˚. èË‚Ó‰flÚÒfl ÍÓÌÍÂÚÌ˚ ÔËÏÂ˚ Ë ÓÔ‰ÂÎfl˛ÚÒfl ÒÔˆˇθÌ˚ ‚ˉ˚ ‡Î„·. Ç‚Ó‰ËÚÒfl ÔÓÌflÚË „‡ÒÒχÌÓ‚ÓÈ ‡Î„·˚ Ë Ó·Ó·˘‡˛ÚÒfl ˝ÎÂÏÂÌÚ˚ ‡Ì‡ÎËÁ‡ Ò ‡ÌÚËÍÓÏÏÛÚËÛ˛˘ËÏË ÔÂÂÏÂÌÌ˚ÏË. íÓÏÒÍËÈ „ÓÒÛ‰‡ÒÚ‚ÂÌÌ˚È Ô‰‡„ӄ˘ÂÒÍËÈ ÛÌË‚ÂÒËÚÂÚ 1. Понятие числа является одним из основных, первичных понятий математики, одной из фундаментальных математических абстракций. В процессе развития математики и расширения сферы ее приложений термин “число” каждый раз наполнялся новым, порой далеко не очевидным смыслом. Хорошо известны такие понятия, как натуральные числа, рациональные и иррациональные числа, положительные и отрицательные числа, трансцендентные числа. Все эти виды чисел объединяются одним понятием вещественного числа. Однако термин “число” в математике не исчерпывается вещественными числами. Школьникам старших классов знакомы комплексные числа, существует также обобщение понятия комплексного числа, называемое кватернионом (см., например, [1, 2, 8]), которое характеризуется тремя мнимыми единицами. В математике используются обобщения понятия числа с еще большим количеством мнимых единиц. Важно отметить, что конкретное числовое множество определяется аксиоматически путем задания определенного комплекса условий, касающихся правил действия с этими числами (см., например, книгу [3]). Развитие современной квантовой физики, в первую очередь квантовой теории поля, привело к необходимости рассматривать числа, обладающие фантастическими с точки зрения обычных числовых множеств свойствами: произведение двух чисел меняет знак при перестановке сомножителей, в частности произведение числа на себя равно нулю. Очевидно, что ни вещественные, ни комплексные числа такими свойствами обладать не могут. Это касается и кватернионов. Чтобы отличать эти необычные числа от обычно используемых, был введен новый термин – антикоммутирующие числа. Мало того, что появились антикоммутирующие числа, физикам потребовались функции, зависящие от переменных, в качестве которых использовались антикоммутирующие числа, и возникла необходимость дифференцировать и интегрировать эти функции. Таким образом, перед математикой была поставлена проблема разработки нового математического раздела, получившего название алгебры и анализа с антикоммутирующими числами, или суперматематики. Определяющий вклад в создание суперматематики внес московский математик Ф.А. Березин [4]. Первые работы Ф.А. Березина по суперматематике появились в первой половине 60-х годов, однако термин “суперматематика” возник во второй ÅìïÅàçÑÖê à.ã. áçÄäéåëíÇé ë ëìèÖêåÄíÖåÄíàäéâ 115 половине 70-х годов и связан с новым направлением в теоретической физике, получившим название суперсимметрии. Суперсимметрия была открыта в 1971 году сотрудниками Физического института АН СССР (Москва) Ю.А. Гольфандом и Е.П. Лихтманом (см. популярное изложение суперсимметрии в статье [5]; учебный материал, рассчитанный на математически подготовленного читателя, дан в книге [6]). В середине 70-х годов стало ясно, что алгебра и анализ с антикоммутирующими числами являются тем математическим аппаратом, который идеально приспособлен для описания суперсимметрии. В результате этого возникли термины “супералгебра”, “супергеометрия”, “суперанал