руководство к решению некоторых задач по теории функции комплексной переменной: методические указания

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования “Оренбургский государственный университет” Кафедра прикладной математики С.Т.Дусакаева, В.А.Ласькова РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ Рекомендовано к изданию Редакционно-издательским советом государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования “Оренбургский государственный университет” Оренбург 2004 ББК 22.161.5 я73 Д 84 УДК 517.53/.55 (075) Рецензент кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики ОГУ Отрыванкина Т. М. Дусакаева С.Т, Ласькова В.А. Д 84 Руководство к решению некоторых задач по теории функции комплексной переменной: Методические указания. – Оренбург: ГОУ ОГУ, 2004. – 32с. Методические указания предназначены для студентов специальности “Системный анализ и управление” факультета экономики и управления. Могут использоваться для организации самостоятельной работы студентов очной и очно-заочной форм обучения. ББК 22.161.5 я73 © Дусакаева С.Т., 2004 © Ласькова В.А., 2004 © ГОУ ОГУ, 2004 2 Введение В методических указаниях рассмотрены 10 типовых задач по ТФКП. Каждый пункт содержит общую постановку задачи, план решение с кратким обоснованием и решение конкретного примера. В конце каждого пункта приведены задачи для самостоятельного решения. Руководство к решению некоторых задач по ТФКП могут быть полезными при подготовке к текущим практическим занятиям, к контрольной работе. Настоящее руководство к решению некоторых задач по ТФКП предназначено для студентов специальности “Системный анализ и управление”. 3 1 Извлечение корня из комплексного числа Постановка задачи. Найти все значения корня n–ой степени из комплексного числа z = x + iy . План решения: 1 Корень n–ой степени из комплексного числа z имеет n различных значений, которые определяются формулой   ω k = n z = n r  cos ϕ + 2πk n где r = z , ϕ = arg z и k = 0, n − 1 . 2 Находим модуль и аргумент + i sin ϕ + 2πk  числа ,  n z = x + iy (1.1) по формулам r = z = x2 + y2 , y  , x > 0, arctg  x  π + arctg y , x < 0,="" y="" ≥="" 0,="" ="" x="" ="" y="" ="" ϕ="arg" z="−" π="" +="" arctg="" ,="" x="">< 0,="" y="">< 0,="" x="" ="" π="" ="" 2="" ,="" x="0," y=""> 0,  − π , x = 0, y < 0.="" ="" 2="" 3="" находим="" по="" формуле="" (1.1)="" значения="" корня="" ω="" k="" k="0," n="" −="" 1=""> ( Пример. Найти все значения 3 ) i. Решение. 1 Корень 3–й степени из комплексного числа z = i имеет три различных значения, которые определяются формулой ϕ + 2πk ϕ + 2πk   ω k = 3 i = 3 r  cos + i sin  , где r = i , ϕ = arg i и k = 0, 1, 2. 3 3   2 Находим модуль и аргумент комплексного числа z = i ( x = 0, y = 1) r = i = 0 2 + 12 = 1, ϕ = arg i = 4 π 2 . π π 3 1  +i⋅ , 3.ω 0 = 1 сos + i sin  = 6 6 2 2  5π 5π  3 1  + sin +i , =− 6 6  2 2  3π 3π   ω 2 = 1 cos + i sin  = −i. 2 2   Задачи для самостоятельного решения. Найти все значения корня из комплексного числа. ω 1 = 1 cos 1.2 4 −1+ i 3 2 1.3 3 1 1.5 4 −1− i 3 2 1.6 −i 1.8 4 − 16 1.9 1.10 3 1.11<