кривые второго порядка: учебно-методическое пособие

М И Н И СТ Е РСТ В О О БРА ЗО В А Н И Я И Н А У К И РО ССИ Й СК О Й Ф Е Д Е РА Ц И И В О РО Н Е Ж СК И Й ГО СУ Д А РСТ В Е Н Н Ы Й У Н И В Е РСИ Т Е Т « К ривые второг о п оря д ка» Пособиед ля студ ентов1 курсапо специальности «х им ия» 020101. В О РО Н Е Ж 2004 2 У тверж д ено науч но-м етод ич еским советом м атем атич еского ф акультета 3 сентября 2004 год а Протокол№ 1 СоставительПетроваЕ .В . Пособиепод готовлено накаф ед реуравнений вч астны х производ ны х и теории вероятностей м атем атич еского ф акультетаВ оронеж ского госуниверситета Реком енд уется д ля студ ентов1 курсад невного отд еления х им ич еского ф акультета 3 К Р И В Ы Е В ТО РО ГО П О Р ЯДК А У равнение F(x;y)=0 опред еляеткривую второго поряд ка, если х отя бы од наиз перем енны х вэтом уравнении им еетвторую степень. 1. О круж ност ь О круж ность – м нож ество всех точ ек плоскости, равноуд аленны х от д анной точ ки (центра). Е сли r – рад иус окруж ности, а точ ка C (a;b) – ее центр, то уравнениеокруж ности им еетвид ( x − a )2 + ( y − b )2 = r 2 . (1) В ч астности, если центр окруж ности совпад аетс нач алом коорд инат, то послед нееуравнениеприм етвид x2 + y2 = r 2 . (2) Е сли в левой ч асти уравнение (1) раскры ть скобки, то получ ится уравнениевид а x 2 + y 2 + lx + my + n = 0 , (3) 2 2 2 гд е l = −2a, m = -2b, n = a + b − r . В общ ем случ ае уравнение (2) опред еляет окруж ность, если 2 2 l + m − 4n > 0 . Е сли l 2 + m 2 − 4n = 0 , то указанное уравнение опред еляет точ ку (- l/2;-m/2), аесли l 2 + m 2 − 4n < 0="" ,="" то="" оно="" неим="" еетгеом="" етрич="" еского="" см="" ы="" сла.="" в="" этом="" случ="" аеговорят,="" ч="" то="" уравнениеопред="" еляетм="" ним="" ую="" окруж="" ность.="" полезно="" пом="" нить,="" ч="" то="" уравнение="" окруж="" ности="" сод="" ерж="" ит="" старш="" ие="" ч="" лены="" x="" 2="" и="" y="" 2="" с="" равны="" м="" и="" коэф="" ф="" ициентам="" и,="" и="" в="" нем="" отсутствуетч="" лен="" с="" произвед="" ением="" x="" наy.="" в="" заим="" ное="" располож="" ение="" точ="" ки="" m(x1;y1)="" и="" окруж="" ности="" x="" 2="" +="" y="" 2="r" 2="" опред="" еляется="" таким="" и="" условиям="" и:="" если="" x1="" +="" y1="r" 2="" ,="" то="" точ="" ка="" м="" леж="" итна="" 2="" 2="" окруж="" ности;="" если="" x1="" +="" y1=""> r 2 , то точ ка М леж итвне окруж ности, и если 2 2 x1 + y1 < r="" 2="" ,="" то="" точ="" кам="" леж="" итвнутри="" окруж="" ности.="" у="" равнение="" ax="" 2="" +="" ay="" 2="" +="" bx="" +="" cy="" +="" d="0" (4)="" пред="" ставляетокруж="" ностьпри="" условии,="" ч="" то="" коэф="" ф="" ициенты="" a,="" b,="" c,="" d="" уд="" овлетворяю="" тнеравенству="" b="" 2="" +="" c="" 2="" −="" 4="" ad=""> 0 (5) Т огд ацентр (a;b) и рад иусR окруж ности м ож но найти по ф орм улам B C ,b = − , a=− 2A 2A (6) B 2 + C 2 − 4 AD 2 R = 4A2 2 2 4 Прим ер 1. Н айти коорд инаты центра и рад иус окруж ности 5 x − 10 x + 5 y 2 + 20 y − 20 = 0 . Реш ение. П ерв ы й сп о со б. У равнение 5 x 2 − 10 x + 5 y 2 + 20 y − 20 = 0 под х од итпод вид (4); зд есь A=5, B=-10, C=20, D=-20. По ф орм улам (6) нах од им : a = 1, b = −2, R 2 = 9 , т.е. центр есть(1;-2), арад иусR = 3. В т о ро й сп о со б: Разд елив уравнение 5 x 2 − 10 x + 5 y 2 + 20 y − 20 = 0 на коэф ф ициент при ч ленах второй степени, т.е. на5, получ им : x2 − 2 x + y 2 + 4 y − 4 = 0 . Д ополним сум м ы x 2 − 2 x и y 2 + 4 y д о квад ратов. Д ля этого прибавим к первой сум м е 1, а ко второй 4. Д ля ком пенсации прибавим те ж е ч исла к правой ч асти уравнения. Получ им : ( x 2 − 2 x + 1) + ( y 2 + 4 y + 4) −