функциональные последовательности и ряды: методические указания

Федеральное агентство по образованию Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования “ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ” Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецкая Методические указания по теме «Функциональные последовательности и ряды» Ростов–на–Дону 2007 Р. М. Г а в р и л о в а, Г. С. К о с т е ц к а я. Методические указания по теме «Функциональные последовательности и ряды». Ростов н/Д: УПЛ ЮФУ, 2007. Печатается по решению кафедры дифференциальных и интегральных уравнений факультета математики, механики и компьютерных наук ЮФУ от апреля 2007 г. (протокол № ) Оглавление 1 Функциональные последовательности и ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2 Свойства функциональных последовательностей и рядов . . . . . . . . . 8 3 Степенные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4 Функциональные свойства степенного ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 5 Разложение функций в степенные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 6 Разложение основных элементарных функций в степенные ряды . 21 7 Применение степенных рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3 п. 1 Функциональные последовательности и ряды Рассмотрим последовательность {fn (x)}. Членами этой последовательности являются функции, определенные на некотором [a, b]. Зафиксируем произвольно x0 ∈ [a, b] и рассмотрим числовую последовательность {fn (x0 )}. Определение 1. Последовательность {fn (x)} называется сходящейся в точке x = x0 , если сходится числовая последовательность {fn (x0 )}. Если {fn (x)} сходится в любой точке [a, b], то очевидно, что ее пределом будет некоторая функция переменного x, которую мы обозначим f (x). Определение 2. Последовательность {fn (x)} называется сходящейся к функции f (x) на [a, b], если для ∀ ε > 0 ∃ N = N (ε, x) : |f (x) − fn (x)| <> n > N = N (ε, x). Определение 3. Последовательность {fn (x)} называется равномерно сходящейся к функции f (x) на [a, b], если для ∀ ε > 0 ∃ N = N (ε) : |f (x) − fn (x)| <> n > N = N (ε), ∀ x ∈ [a, b]. Понятие равномерной сходимости имеет простую геометрическую интерпретацию: f (x) − ε < fn="" (x)="">< f="" (x)="" +=""> y y = f (x) + ε y = f (x) y = f (x) − ε n > N (ε). (1) Двойное неравенство (1) утверждает, что все функции данной последовательности, начиная с некоторого номера N , зависящего только от ε, 0 a b x шириной 2ε сразу на всем протяжении [a, b]. 4 попадут в нарисованную криволинейную полосу sin nx Пример 1. Пусть fn (x) = 5/7 , x ∈ (−∞, +∞). Покажем, что {fn (x)} n сходится равномерно к f (x) ≡ 0. Действительно, зададим ε > 0 и укажем N = N (ε): ¯ ¯ ¯ sin nx ¯ 1 |fn (x) − f (x)| = ¯¯ 5/7 ¯¯ 6 5/7 < ε="" при="" n=""> N. n n · ¸ 1 1 Значит n5/7 > ⇒ n > N = 7/5 . ε ε Поскольку N зависит только от ε, то данная последовательность сходится к f (x) ≡ 0 равномерно на всей прямой. Пример 2. Пусть fn (x) = xn , x ∈ [0, 1]. Предельной функцией является   0, x ∈ [0, 1) f (x) =  1, x = 1 Нарисуем график этой преде