E-Book Overview
11-е изд., доп. — М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, 2014. — 128 c.
В пособии рассматриваются тригонометрические уравнения, неравенства, тригонометрические системы, а также арифметические и геометрические прогрессии, текстовые задачи. Предпринята попытка систематизации типов встречающихся задач и методов их решений. Схема решений уравнений определенного вида подобрана таким образом, чтобы решение было наиболее простым. Решения каждого типа задач по этим схемам приведены в разделе "Ответы, указания, решения" в конце пособия. Предназначено для абитуриентов МГУ, выпускников школ при подготовке к ЕГЭ, для слушателей подготовительных отделений и курсов, учащихся математических классов.
E-Book Content
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. Ломоносова
Галеев Э. М.
Подготовка к вступительным экзаменам по математике в МГУ и ЕГЭ (типы задач и методы их решений) Часть 3 • Тригонометрические уравнения и неравенства • Арифметические и геометрические прогрессии • Текстовые задачи
Издание одиннадцатое, дополненное Москва 2014
ББК 22.1 я 729 УДК 373.3
Учебно-методическое пособие Галеев Э.М.
Подготовка к вступительным экзаменам по математике в МГУ и ЕГЭ (типы задач и методы их решений). Часть 3. Тригонометрические уравнения и неравенства. Арифметические и геометрические прогрессии. Текстовые задачи. Изд. 11-е, дополненное. Издательство “Попечительский совет механико-математического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова”. 2014. - 128 c. В пособии рассматриваются тригонометрические уравнения, неравенства, тригонометрические системы, а также арифметические и геометрические прогрессии, текстовые задачи. Предпринята попытка систематизации типов встречающихся задач и методов их решений. Схема решений уравнений определенного вида подобрана таким образом, чтобы решение было наиболее простым. Решения каждого типа задач по этим схемам приведены в разделе “Ответы, указания, решения” в конце пособия. Предназначено для абитуриентов МГУ, выпускников школ при подготовке к ЕГЭ, для слушателей подготовительных отделений и курсов, учащихся математических классов. Рецензент: д.ф.-м.н., Богатый С. А. Г
1702070000 − 08 Без объявл. 3Ш7(03) − 02
ISBN 5-87597-024-3
c ⃝ c ⃝
Галеев Э.М., 2014 г. Издательство “Попечительский совет мех-мат. ф-та МГУ”, 2014 г.
Оглавление Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Основные тригонометрические формулы . . . . . . . . . . 11 Преобразование тригонометрических выражений . . 11.1 Доказать тождества . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Доказать равенства . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Вычислить . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Тригонометрические уравнения . . . . . . . . . . . . 12.1 Сведение к одному аргументу и одной функции 12.2 Однородные уравнения . . . . . . . . . . . . . 12.3 Введение дополнительного угла . . . . . . . . 12.4 Симметрические уравнения . . . . . . . . . . 12.5 Кососимметрические уравнения . . . . . . . . 12.6 Универсальная тригонометрическая подстановка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.7 Разложение на множители . . . . . . . . . . . 12.8 Отбор корней . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.8.1 Учет ОДЗ . . . . . . . . . . . . . . . 12.8.2 Выбор корней из промежутка . . . . 12.8.3 Уравнения с модулем . . . . . . . . . 12.8.4 Иррациональные уравнения . . . . . 12.8.5 Показательные и логарифмические уравнения . . . . . . . . . . . . . . . 12.8.6 Дополнительные условия . . . . . . 12.9 Исследование области изменения функций . 12.10 Разные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
5 7 12 12 14 17 20 20 22 23 25 25 26 27 28 28 30 32 33 36 37 39 42
4 12.11 Тригонометрическая замена в алгебраических уравнениях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 12.12 Обратные тригонометрические функции . . 44 12.13 Тригонометрические си