E-Book Overview
М.: Чистые пруды, 2006. — 32 с. — (Библиотечка Первого сентября, серия Математика. Вып. 5).
В последнее время интерес к комбинаторике в школьном курсе математики заметно возрос. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей включены в новые стандарты по математике для основной и профильной школ. Формирование комбинаторных представлений и развитие комбинаторного мышления школьников входит в число основных целей обучения математике. Однако обычно, когда говорят об элементах комбинаторики, имеют в виду задачи алгебраического содержания. Здесь мы рассмотрим комбинаторные задачи по геометрии, решением которых можно заниматься, начиная с седьмого и по одиннадцатый класс.Точки и прямые на плоскости. Окружности. Многоугольники. Задачи на разрезание. Графы. Теорема Эйлера для многоугольников. Раскрашивание карт. Прямые и плоскости в пространстве. Многогранники. Теорема Эйлера для многогранников. Ответы и решения.
E-Book Content
И.М. СМИРНОВА, В.А. СМИРНОВ КОМБИНАТОРНЫЕ ЗАДАЧИ ПО ГЕОМЕТРИИ В последнее время интерес к комбинаторике в школьном курсе математики заметно возрос. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей включены в новые стандарты по математике для основной и профильной школ. Формирование комбинаторных представлений и развитие комбинаторного мышления школьников входит в число основных целей обучения математике. Однако обычно, когда говорят об элементах комбинаторики, имеют в виду задачи алгебраического содержания. Здесь мы рассмотрим комбинаторные задачи по геометрии, решением которых можно заниматься, начиная с седьмого и по одиннадцатый класс. Часть из них имеется в учебниках геометрии: 1. И.М.Смирнова, В.А.Смирнов. Геометрия: Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2015. 2. И.М.Смирнова, В.А.Смирнов. Геометрия: Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2015. В настоящей брошюре собраны комбинаторные задачи по геометрии, предназначенные для учащихся с седьмого по одиннадцатый классы, направленные на формирование комбинаторных представлений и развитие комбинаторного мышления школьников. 1. Точки и прямые на плоскости Одной из первых аксиом геометрии, относящейся к взаимному расположению точек и прямых на плоскости, является аксиома о том, что через любые две точки плоскости проходит единственная прямая. Учащимся можно предложить следующие задачи, идущие с нарастанием сложности. 1.1. Сколько прямых проходит через различные пары из трех точек, не лежащих на одной прямой? Ответ: 3. 1.2. Сколько прямых проходит через различные пары из четырех точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой? Ответ: 6. 1.3. Сколько прямых проходит через различные пары из пяти точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой? Ответ: 10. 1.4. Сколько прямых проходит через различные пары из n точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой? Укажите способ построения таких точек.
Решение. Пусть A1, …, An – n точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Для построения таких точек достаточно отметить их на окружности. Выясним, сколько прямых проходит через точку A1 и оставшиеся точки. Так как число оставшихся точек равно n – 1 и через каждую из них и точку A1 проходит одна прямая, то искомое число прямых будет равно n – 1. Заметим, что рассуждения, проведенные для точки A1, справедливы для любой точки. Поскольку всего точек n и через каждую из них проходит n – 1 прямая, то число посчитанных прямых будет равно n(n – 1). Конечно, этот ответ, который могут дать учащиеся, не является верным. Например, при n = 3 получаем n(n – 1) = 6, а число прямых на самом деле равно 3. Хорошо, если учащиеся сами догадаются, что при указанном выше подсчете мы каждую прямую посчитали дважды и поэтому число прямых, проходящих через различные n( n 1) пары из