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Lecture notes.
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COMPLEX ANALYSIS1 Douglas N. Arnold2 References: John B. Conway, Functions of One Complex Variable, Springer-Verlag, 1978. Lars V. Ahlfors, Complex Analysis, McGraw-Hill, 1966. Raghavan Narasimhan, Complex Analysis in One Variable, Birkh¨ auser, 1985.
CONTENTS I. The Complex Number System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 II. Elementary Properties and Examples of Analytic Fns. . . . . . . . . . . . . . . . 3 Differentiability and analyticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 The Logarithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Conformality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Cauchy–Riemann Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 M¨ obius transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 III. Complex Integration and Applications to Analytic Fns. . . . . . . . . . . . . 11 Local results and consequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Homotopy of paths and Cauchy’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Winding numbers and Cauchy’s Integral Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Zero counting; Open Mapping Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Morera’s Theorem and Goursat’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 IV. Singularities of Analytic Functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19 Laurent series .