Mckay Correspondence. Winter 2006/07

McKay correspondence. Winter 2006/07 Igor V. Dolgachev October 26, 2009 ii Contents 1 Kleinian surface singularities 1.1 Finite subgroups of SL(2, C) 1.2 Grundformen . . . . . . . . 1.3 Algebras of invariants . . . 1.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 6 10 14 2 Intersection theory on surfaces 2.1 Intersection pairing . . . . . . . 2.2 Cartan matrices . . . . . . . . . 2.3 Canonical class . . . . . . . . . 2.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 15 20 25 27 . . . . . 29 29 37 39 47 53 . . . . . . 55 55 59 63 71 77 86 3 Geometry of graded algebras 3.1 Graded algebras . . . . . . 3.2 Ample invertible sheaves . . 3.3 Q-divisors . . . . . . . . . . 3.4 Cylinder constructions . . . 3.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Resolution of singularities 4.1 The blow-up schemes . . . . . . . . 4.2 Cyclic quotient surface singularities 4.3 The degree of an affine quasicone . 4.4 Canonical sheaf . . . . . . . . . . . 4.5 Finite group quotients . . . . . . . 4.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 McKay graphs 89 5.1 Linear representations of finite groups . . . . . . . . . . . . . . . 89 5.2 McKay graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 5.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 iii iv CONTENTS 6 Punctual Hilbert schemes 6.1 Hilbert schemes and symmetric products 6.2 G-Hilbert scheme . . . . . . . . . . . . . 6.3 Symplectic structure . . . . . . . . . . . 6.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 107 116 118 124 7 Quiver varieties 7.1 Quivers and their representations . 7.2 Varieties of quiver representations 7.3 McKay quivers . . . . . . . . . . . 7.4 Preprojective algebras . . . . . . . 7.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 127 130 133 135 138 8 McKay correspondence 8.1 Semi-simple rings . . . . .