к исследованию сходимости проекционно-разностного метода для гиперболических уравнений

Сибирский математический журнал Январь—февраль, 2007. Том 48, № 1 УДК 517.988.8 К ИССЛЕДОВАНИЮ СХОДИМОСТИ ПРОЕКЦИОННО–РАЗНОСТНОГО МЕТОДА ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С. Е. Железовский Аннотация: Рассматривается задача Коши для абстрактного квазилинейного гиперболического уравнения в гильбертовом пространстве с переменными операторными коэффициентами и с негладким (только интегрируемым по Бохнеру) свободным членом. Исследуется схема приближенного решения этой задачи, являющаяся комбинацией схемы метода Гал¨ еркина по пространству и трехслойной разностной схемы с весами по времени. Устанавливается априорная энергетическая оценка погрешности при отсутствии каких-либо специальных условий на проекционные подпространства. Эта оценка конкретизируется для случаев, когда дискретизация по пространству проводится методом конечных элементов (для уравнения с частными производными) и методом Гал¨ еркина в форме Михлина. Ключевые слова: абстрактное гиперболическое уравнение, проекционно-разностный метод, метод Гал¨ еркина, трехслойная разностная схема, оценка погрешности. Введение В статье рассматривается задача Коши для абстрактного квазилинейного гиперболического уравнения в вещественном сепарабельном гильбертовом пространстве H: u00 (t) + A(t)u(t) + B(t, u(t)) = f (t), (0.1) u(0) = u0 (0) = 0, (0.2) где t ∈ [0, T ] ⊂ R, u и f — искомая и заданная функции соответственно, A(t) (0 ≤ t ≤ T ) — неограниченные самосопряженные положительно определенные операторы, действующие в H и имеющие общую область определения (следовательно, эти операторы порождают одно и то же, с точностью до эквивалентных скалярных произведений, энергетическое пространство, которое обозначим через V ), B : [0, T ] × V → H — нелинейный оператор. Условия на операторные коэффициенты уравнения (0.1) подробно сформулированы ниже в разд. 1. Свободный член f уравнения (0.1) предполагается неглад