´tica Estad´ıstica Matema ´tica Estad´ıstica Matema Edilberto Cepeda Cuervo Departamento de Estad´ıstica Facultad de Ciencias Universidad Nacional de Colombia Sede Bogot´a ´tica Estad´ıstica Matema c Edilberto Cepeda Cuervo Departamento de Estad´ıstica Facultad de Ciencias Universidad Nacional de Colombia c Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ciencias Departamento de Estad´ıstica Edici´ on, 2008 Bogot´ a, Colombia ISBN 978-958-719-070-0 Impresi´ on: Proceditor Ltda.
[email protected] Bogot´ a, Colombia Diagramaci´ on en LATEX : Ana Mar´ıa Rojas Dise˜ no de car´ atula: Andrea Kratzer Catalogaci´ on en la publicaci´ on Universidad Nacional de Colombia Cepeda Cuervo, Edilberto, 1959 – Estad´ıstica Matem´ atica / Edilberto Cepeda Cuervo. – Bogot´ a : Universidad Nacional de Colombia. Facultad de Ciencias. Departamento de Estad´ıstica, 2008 ix, 107 p.: 13il. Incluye referencias bibliogr´ aficas ISBN 978-958-719-070-0 1. Estad´ıstica matem´ atica 2. Probabilidades 3. Variables aleatorias 4. Teorema del l´ımite central CDD-21 519 / 2008 ´Indice general 1. Distribuciones de funciones de variables aleatorias 1 1.1. Distribuciones discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1. Distribuci´on Uniforme Discreta . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2. Distribuci´on Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.3. Distribuci´on Geom´etrica . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.4. Distribuci´on Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.5. Distribuci´on Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.6. Distribuci´on Binomial negativa . . . . . . . . . . . . 6 1.2. Distribuciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.1. Distribuci´on normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.2. Distribuci´on χ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.3. Distribuci´on gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.4. Distribuci´on t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2.5. Distribuci´on F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2.6. Teorema del l´ımite central . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.3. Otras funciones de variables aleatorias . . . . . . . . . . . . 23 2. Estimadores 26 2.1. Conceptos b´asicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v 26 ´INDICE GENERAL vi 2.2. M´etodo de los momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3. Estimaciones de m´axima verosimilitud . . . . . . . . . . . . 32 2.4. Error de estimaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.5. Eficiencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.6. Consistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3. Modelos estad´ısticos 41 3.1. Estad´ıstico suficiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.2. Familia exponencial uniparam´etrica . . . . . . . . . . . . . . 44 3.3. Familia exponencial uniparam´etrica en forma natural . . . . 45 3.4. Familia exponencial biparam´etrica . . . . . . . . . . . . . . 48 3.5. Familia exponencial biparam´etrica . . . . . . . . . . . . . . 49 4. Propiedades de los estimadores 53 4.1. Comparaci´on de estimadores . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.