335 ASTÉRISQUE 2011 MULTIPLICATIVE PROPERTIES OF THE SLICE FILTRATION Pablo Pelaez SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE Publié avec le concours du CENTRE NATIONAL DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE Astérisque est un périodique de la Société mathématique de France. Numéro 335, 2011 Comité de rédaction Guy David Fabrice Planchon Olivier Debarre Raphaël Rouquier Damien Gaboriau Wolfgang Soergel Patrice Le Calvez Wendelin Werner Robert Alain Oliver Yves André (dir.) Diffusion Maison de la SMF Case 916 - Luminy 13288 Marseille Cedex 9 France
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[email protected] Classification mathématique par sujet (2000). — 14F42, 18D10, 18G40, 18G55. Mots-clefs. — Filtration par les tranches, motifs mixtes, suite spectrale motivique de AtiyahHirzebruch, théorie homotopique des schémas. MULTIPLICATIVE PROPERTIES OF THE SLICE FILTRATION Pablo PELAEZ Abstract. — Let S be a Noetherian separated scheme of finite Krull dimension, and SH (S) be the motivic stable homotopy category of Morel-Voevodsky. In order to get a motivic analogue of the Postnikov tower, Voevodsky [25] constructs the slice filtration by filtering SH (S) with respect to the smash powers of the multiplicative group Gm . We show that the slice filtration is compatible with the smash product in Jardine’s category SptΣ T M ∗ of motivic symmetric T -spectra [14], and describe several interesting consequences that follow from this compatibility. Among them, we have that over a perfect field all the slices sq are in a canonical way modules in SptΣ T M∗ over the motivic Eilenberg-MacLane spectrum HZ, and if the field has characteristic zero it follows that the slices sq are big motives in the sense of Voevodsky, this relies on the work of Levine [16], Röndigs-Østvær [22] and Voevodsky [26]. It also follows that the smash product in SptΣ T M ∗ induces pairings in the motivic Atiyah-Hirzebruch spectral sequence. Résumé (Les propriétés multiplicatives de la filtration par les tranches). — Soit S un schéma noethérien séparé de dimension de Krull finie, et SH (S) la catégorie homotopique stable de Morel-Voevodsky. Afin d’obtenir un analogue motivique de la to