E-Book Overview
Автор на серии примеров рассматривает процесс построения фракталов. Перечисленные в статье приемы позволят заинтересованному читателю создать много интересных изображений и найти размерность полученных фракталов. Кроме того, проведена параллель между фракталами и некоторыми природными объектами
E-Book Content
Ïîñòðîåíèå ôðàêòàëîâ
Êðîíèí Ãðèãîðèé Âàäèìîâè÷
ÏÎÑÒÐÎÅÍÈÅ ÔÐÀÊÒÀËΠÝòà ñòàòüÿ çíàêîìèò ÷èòàòåëÿ ñ èíòåðåñíûìè ïðèìåðàìè òàê íàçûâàåìûõ ôðàêòàëîâ ìíîæåñòâ, èìåþùèõ óäèâèòåëüíóþ ñòðóêòóðó. Îäèí âçãëÿä íà èõ èçîáðàæåíèå ìîæåò äîñòàâèòü ýñòåòè÷åñêîå óäîâîëüñòâèå, à ìàòåìàòè÷åñêèå ñâîéñòâà íàñòîëüêî èíòåðåñíû, ÷òî ñòàëè òîë÷êîì äëÿ íàïèñàíèÿ ìíîãèõ êíèã è ñòàòåé â ñåðüåçíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ è ôèçè÷åñêèõ æóðíàëàõ. Íà÷íåì ñ ñàìîãî, ïîæàëóé, çíàìåíèòîãî ïðèìåðà. Ðàññìîòðèì ïëîñêîñòü, à íà íåé ïðîèçâîëüíûé îòðåçîê äëèíû 1, êîíöû êîòîðîãî îáîçíà÷èì A00 è A10 . Íàçîâåì A00 A10 îòðåçêîì íóëåâîãî óðîâíÿ. Ðàçäåëèì åãî íà òðè ðàâíûå ÷àñòè òî÷êàìè A11 è A31 è ïîñòðîèì íà âíóòðåííåì îòðåçêå ðàâíîñòîðîííèé òðåóãîëüíèê (ðèñóíîê 1). Çàìåíèì â îòðåçêå A00 A10 îòðåçîê A11 A31 íà ëîìàíóþ A11 A21 A31 . Ïîëó÷èì ëîìàíóþ A01 A11 A21 A31 A41 , ãäå A01 = A00 , A41 = A10 . Îòðåçêè Ak1 Ak1 +1 (k = 0, 1, 2, 3) íàçîâåì îòðåçêàìè ïåðâîãî óðîâíÿ. Íà ñëåäóþùåì øàãå ïðîäåëàåì ñ îòðåçêàìè ïåðâîãî óðîâíÿ òó æå îïåðàöèþ, à èìåííî: ðàçäåëèì êàæäûé îòðåçîê ïåðâîãî óðîâíÿ íà 3 ÷àñòè è íàäñòðîèì íà âíóòðåííèõ îòðåçêàõ ðàâíîñòîðîííèå òðåóãîëüíèêè. Ïîëó÷èì ëîìàíóþ A02 A12 ...A162 , îòðåçêè êîòîðîé íàçîâåì îòðåçêàìè âòîðîãî óðîâíÿ, è ò.ä. Íà k-ì øàãå ïîëó÷èì ëîìàíóþ, ñîñòîÿùóþ èç 4 k îòðåçêîâ k-ãî óðîâíÿ, 1 êàæäûé èç êîòîðûõ èìååò äëèíó k . 3
Ó×ÅÁÍÀß ÌÀÑÒÅÐÑÊÀß
Îáîçíà÷èì ëîìàíóþ A0k A1k ...A4kk ÷åðåç S k . Îïðåäåëåíèå. Êðèâàÿ Êîõ S ýòî ìíîæåñòâî òî÷åê x, äëÿ êîòîðûõ ñóùåñòâóåò òàêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü x1 , x 2 ,... , ÷òî x = lim xk , ãäå ïðè âñåõ k: x k ∈ S k , òî k →∞ åñòü ýòî ïðåäåëüíîå ïîëîæåíèå ïîñòðîåííûõ êðèâûõ. Êîõ ôàìèëèÿ øâåäñêîé æåíùèíû-ìàòåìàòèêà, âïåðâûå îïèñàâøåé ýòó êðèâóþ.
Ðèñóíîê 1
Ðèñóíîê 2
73
Êðîíèí Ã.Â. Èòàê, ÷òî æå òàêîå ìû îïðåäåëèëè? Ïîïðîáóåì ðàçîáðàòüñÿ. Âî-ïåðâûõ, ïðè âñåõ öåëûõ íåîòðèöàòåëüíûõ m è l = 0 ,1, ... , 4 m : Alm ∈ S , òàê êàê â êà÷åñòâå ïðèáëèæàþùåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ìîæíî âçÿòü òàêóþ, ó êîòîðîé âñå òî÷êè, íà÷èíàÿ ñ m-îé, ñîâïàäàþò ñ Alm . À åñòü ëè â ìíîæåñòâå S åùå êàêèå-íèáóäü òî÷êè? Îêàçûâàåòñÿ, åñòü (è äàæå «î÷åíü ìíîãî»), íî ÿâíî óêàçàòü õîòÿ áû îäíó èç íèõ íå î÷åíü ïðîñòî. Âû ìîæåòå ïîïðîáîâàòü ñäåëàòü ýòî ñàìîñòîÿòåëüíî, ìû æå ñîçíàòåëüíî íå ñòàíåì âäàâàòüñÿ â ýòîò âîïðîñ. Âî-âòîðûõ, áûëî áû åñòåñòâåííî, åñëè áû ëîìàíûå S k «õîðîøî ïðèáëèæàëè» ìíîæåñòâî S. Èç ïîñòðîåíèÿ ëîìàíûõ S k âèäíî, ÷òî äëÿ ëþáîé òî÷êè y ∈ S k +1 ñóùåñòâóåò òî÷êà x ∈ S k òàêàÿ, ÷òî 3 1 ⋅ d( x, y ) ≤ . (Ñèìâîëîì d(x, y) îáî2 3 k +1 çíà÷åíî îáû÷íîå ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè x è y.) Ãðóáî ãîâîðÿ, ýòî çíà÷èò, ÷òî ïðè ïåðåõîäå îò S k ê S k +1 òî÷êè «ñäâèãàþòñÿ» íå áîëüøå, ÷åì íà ðàññòîÿíèå 3 1 ⋅ . Ïðèìåíÿÿ ìíîãî ðàç íåðàâåí2 3 k +1 ñòâî òðåóãîëüíèêà, ïîëó÷èì, ÷òî äëÿ ëþáîé òî÷êè y ∈ S k + n ( n ∈ N ) ñóùåñòâóåò òàêàÿ òî÷êà x ∈ S k , ÷òî 3 1 1 1 d( x, y ) ≤ k +1 + k + 2 ... + k + n +1 2 3 3 3 3 1 1 3 ≤ + ... = . 2 3 k +1 3 k + 2 4 ⋅ 3 k Ïîëó÷èëîñü, ÷òî âñå òî÷êè ëîìàíîé S k + n (ïðè ëþáîì n ∈ N ) ëåæàò íà ðàññòî-
3 îò ìíîæåñòâà 4 ⋅ 3k S k . Òàê êàê n ïðîèçâîëüíî, òî îòñþäà ïî ñâîéñòâó ïðåäåëà ïîëó÷àåì, ÷òî âñå òî÷êè ìíîæåñòâà S ëåæàò íà ðàññòîÿíèè íå áî3 ëåå ÷åì îò ìíîæåñòâà S k .  ýòîì 4 ⋅ 3k ñìûñëå ìíîæåñòâà äåéñòâèòåëüíî «õîðîøî ïðèáëèæàþò» êðèâóþ Êîõ. Åñëè ìû
Ðèñóíîê 3
Ðèñóíîê 4
ÿíèè íå áîëåå ÷åì
74
Äðàêîíîâà êðèâàÿ...
© ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÅ ÈÍÑÒÐÓÌÅÍÒÛ Â ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÈ. ¹ 5, 2001 ã.
Ïîñòðîåíèå ôðàêòàëîâ
Ðèñóíîê 5
Ðèñóíîê 7
Ðèñóíîê 6 õîòèì íàðèñîâàòü ìíîæåñòâî S, íàïðèìåð,