|
E-Book Content
ГЛАВА 3. ЭЛЕКТРОСТАТИКА. В электростатике исследуется электрические поля, созданные неподвижными зарядами, а также поведение (распределение) в этих полях свободных (которые могут свободно перемещаться по проводникам) и связанных (входящих в состав молекул вещества) зарядов. 3.1. Теорема Гаусса. r Поток вектора E через произвольную замкнутую поверхность S обладает замечательным свойством: он определяется только алгебраической суммой зарядов, находящихся внутри объема V S, ограниченного поверхностью S. q i ( внутри V ) r r å i , (34) ò Ed S = S
e 0
где e 0 = 8 , 85 × 10 -12
Ф – электрическая постоянная. м
3.1.1. Доказательство теоремы Гаусса.
Рассмотрим точечный заряд q, расположенный внутри объема V S, ограниченного r r поверхностью S (см. рис. 18a). Элементарный поток E через элемент поверхности dS определяется формулой (см. математическое приложение) r r dF = E d S = EdS ^ , q где E = – по закону Кулона; 4 pe 0 r 2 dS ^ = r 2 d W – по определению элементарного телесного угла dW. q q То есть, d F = r 2 d W = d W . 2 4pe 0 r 4 pe 0 Интегрируя по всей поверхности S, получим: q q q ò dF = 4pe 0 ò d W = 4 pe 0 × 4 p = e 0 , так как ò d W – угол, под которым видна вся внутренняя сторона поверхности S. Таким образом, если заряд q находится внутри объема V S, ограниченного поверхностью S, то r r q ò Ed S = e 0 , если q внутри V S. (35)
Рис 18 а)
б)
3.1.2.
Рассмотрим теперь заряд q, находящийся вне объема V S (рис. 18б). В этом случае, силовая r линия E по крайней мере дважды пересекает поверхность S (сначала она входит внутрь V S, а затем – выходит из V S). Элементарный поток при этом состоит из двух слагаемых: q q d F 1 = d W и d F 2 = d W , 4pe 0 4pe 0 где dW – элементарный телесный угол, опирающийся на площадки dS1 и dS2 (рис. 18б). Их q q результирующий (суммарный)поток dF = d W + d W = 0 . 4 pe 0 4 pe 0 Интегрирование по всей поверхности S – это суммирование аналогичных потоков для всех элементарных углов dW, на которые можно разбить угол W (рис. 18), под которым объем V S виден из q. Ясно, что результатом такого суммирования будет ноль. r r ò Ed S = 0 , если q вне V S. (36) 3.1.3.
Если поле создается системой точечных зарядов, то согласно принципу суперпозиции: r r r r E = E 1 + E 1 + K + E N , r где N – число зарядов в системе, создающей поле E . r Поток вектора E через замкнутую поверхность: r r r r r r r r E d S = E d S + E d S + K + E 1 2 ò ò ò ò N d S . Но согласно вышеизложенному (пп. 3.1.1 и 3.1.2) если заряд qi попадает внутрь V S, то r r r r q i E d S = , а если q окажется вне V , то E i S ò i e 0 ò j d S = 0 . Следовательно, r r 1 ( внутри V ) E (теорема доказана). ò d S = å q i S
e 0
Здесь суммирование распространяется на заряды q i ( внутри V ) , попавшие внутрь V S. S
Замечание:
полученный результат является удивительным, так как при любом перемещении зарядов r внутри V S поле E изменяется всюду, в частности, и на поверхности S. Однако поток вектора r r r E (интеграл ò Ed S ) остается неизменным (лишь бы при перемещени