математическая статистика: учебное пособие. часть 2

М И Н И СТ Е РСТ В О О Б РА ЗО В А Н И Я И Н А У К И РО ССИ Й СК О Й Ф Е Д Е РА Ц И И В О РО Н Е Ж СК И Й ГО СУ Д А РСТ В Е Н Н ЫЙ У Н И В Е РСИ Т Е Т М А Т Е М А Т И ЧЕ СК А Я СТ А Т И СТ И К А П осо би е для ст у де нтов по спе ци альност и 010101 – " М ат е м ати к а" ( част ь 2) В ороне ж 2004 г. 2 Ут ве ржде но нау чно -м е тоди че ск и м сове т о м к у льт е т а ( се нтя бря 2004го да, прот ок ол № 1) м ате м ати че ск ого фа- С ост ави т е ли : М и хай лова И. В. Барк ова Л. Н. П особи е подго т овле но на к афе дре у равне ни й в частны х прои зводны х и т е ори и ве ро я тносте й м ат е м ати че ск ого фак у льт е та Вороне жск ого госу дарст ве нно го у ни ве рси т е т а. Ре к о м е нду е т ся для ст у де нт ов 5 к у рса ве че рне го о т де ле ни й м ат е м ат и че ск ого фак у льт е т а. 3 §1. ПО Н Я Т И Е СТ А Т И СТ И ЧЕ СК О Й О Ц Е Н К И Значе ни е эм пи ри че ск о й фу нк ци и распре де ле ни я в к аждой т очк е м о жно рассм атри ват ь в к аче ст ве оце нк и значе ни я в эт ой точк е т е оре ти че ск о й фу нк ци и распре де ле ни я , а вы борочны е харак т е ри ст и к и (м ом е нты ) к ак о це нк и соот ве тст ву ющи х т е оре т и че ск и х м ом е нтов. П ри этом и спользовани е т е рм и на "оце нк а" обосно вы вае т ся т е м , что для вы борок большого объё м а значи те льная разни ца м е жду значе ни я м и ре али заци й вы борочны х харак т е ри ст и к и значе ни я м и соот ве т ству ющи х т е оре т и че ск и х харак те ри ст и к м алове роя тна, и по этом у разу м но (по к рай не й м е ре для больши х вы борок ) при ня т ь вы борочну ю харак т е ри ст и к у за при бли жё нное значе ни е соот ве т ст ву юще й т е оре т и че ск ой харак т е ри ст и к и , к огда по сле дня я не и зве ст на. Т ак и м образо м , в эт от т е рм и н вк лады вае т ся о пре де лё нны й аси м пт оти че ск и й см ы сл. В то же вре м я на прак т и к е часто при ходи т ся строи ть при бли жё нны е значе ни я для разли чны х не и зве стны х т е оре ти че ск и х харак т е ри ст и к и зу чае м о й стат и ст и че ск ой м оде ли при любы х объё м ах вы борк и , в т ом чи сле и не больши х, и при этом обо сновы ват ь соот ве т ству ющи е ре к о м е ндаци и с точк и зре ни я к ак и х-ли бо к ри те ри е в опт и м ально сти . О бщи е м е т оды ре шени я подобны х задач разви т ы в т е ори и оце ни вани я не и зве ст ны х парам е т ро в распре де ле ни я . С у ще ст ву ют два т ради ци онны х подхода к ре ше ни ю эт и х задач: т оче чное и и нт е рвальное оце ни вани е . В настоя ще м параграфе и дву х по сле ду ющи х ре чь и дё т о точе чном оце ни вани и . С форм у ли ру е м задачу r т оче чно го оце ни вани я не и зве стны х парам е т ро в распре де ле ни я . П у ст ь ξ = (ξ1 ,ξ 2 ,...,ξ n ) - прост ая слу чай ная вы борк а, т и п распре де лени я к о т орой и зве ст е н, но не и зве стны м и я вля ют ся значе ни я парам е тров, от к о т оры х зави си т распре де ле ни е . П ре дполагае т ся , что ре чь и дё т о повт орны х не зави си м rы х и спы тани я х. Э то означае т сле ду юще е : в про стой слу чай ной вы борк е ξ все слу чай ны е ве ли чи ны ξ1 ,...,ξ n не зави си м ы и оди нак о во распре де ле ны , т.е . и м е е м парам е три че ск у ю ст ат и ст и че ск у ю м о де ль F ( x,θ 0 ) , x ∈ R, θ 0 ∈ Θ. О це ни т ь не и зве стное значе ни е парам е т ра θ - эт о значи т по строи т ь r т ак у ю фу нк ци ю Τ ξ от простой слу чай ной вы борк и , чт о е е значе ни е для r наблюдавше й ся ре али заци и x = ( x1 ,..., xn ) прост ой слу чай ной вы борк и r ξ = (ξ1 ,...,ξ n