введение в теорию функций комплексного переменного - примеры и задачи: методические указания

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Механико–математический факультет Кафедра дифференциальных уравнений ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО – ПРИМЕРЫ И ЗАДАЧИ (методические указания) Составители: Кияcов С.Н., Обносов Ю.В., Салехов Л.Г. КАЗАНЬ – 2004 Печатается по решению учебно-методической комиссии механико-математического факультета КГУ Цель настоящего пособия – оказание помощи студентам при самостоятельном изучении некоторых вопросов теории функций комплексного переменного. При проработке материала следует учитывать, что большинство задач допускает несколько вариантов решений. Решения и указания, приведенные в задачнике, направляют студентов к цели кратчайшим, по мнению авторов, путем. Последнее, однако, не отрицает наличия более оптимальных и красивых решений. Поэтому авторы рекомендуют сначала подумать над задачей самостоятельно и лишь затем воспользоваться указанием. Составители – к.ф.–м.н., доцент С.Н.Киясов, д.ф.–м.н., профессор Ю.В.Обносов, к.ф.– м.н., доцент Л.Г.Салехов, Научный редактор – С.Р.Насыров – д.ф.–м.н., профессор Рецензенты: И.А.Бикчантаев – д.ф.–м.н., профессор В.И.Жегалов – д.ф.–м.н., профессор c °Казанский государственный университет, 2004 г. В настоящем пособии используются следующие обозначения, определения и формулы: N, Z, R – множества натуральных, целых и вещественных чисел соответственно; := – равно по определению; ⇒ – следует (тогда); ⇔ – тогда и только тогда, когда; ∀ – для всех; ∃ – существует; ∃! – существует и единственно; i – мнимая единица, i 2 := −1; C = {z := x + i y, где x, y ∈ R} – множество комплексных чисел (точек комплексной плоскости), C = C ∪ {∞}; − + − R+ x (Rx ), Ry (Ry ) – замкнутые (включающие ноль и бесконечность) положительные (отрицательные) полуоси вещественной и мнимой оси соответственно; x = Re z, y = Im z – соответственно действительная и мнимая часть z (z = x + i y – декартова или алгебраическая форма комплексного числа); z = x − i y – число, комплексно сопряженное с z; p r = |z| = x2 + y 2 – модуль комплексного числа z; Θ = Arg z = ϑ + 2πk, ∀k ∈ Z – аргумент z (z 6= 0), где ϑ = arg z – главное значение Arg z, в общем случае величина фиксированная на любом полуоткрытом интервале длины 2π, в частности, на промежутке (−π, π], в последнем случае  0, Re z ≥ 0, y  π, Re z < 0,="" im="" z="" ≥="" 0,="" arg="" z="arctg" +="" x="" ="" −π,="" re="" z="">< 0,="" im="" z="">< 0;=""> z1 := z2 ⇔ x1 = x2 , y1 = y2 (xk = Re zk , yk = Im zk ) ⇔ |z1 | = |z2 |, arg z1 = arg z2 , если z1,2 6= 0; z1 ± z2 := x1 ± x2 + i (y1 ± y2 ); z1 z2 := x1 x2 − y1 y2 + i (x1 y2 + x2 y1 ) ⇒ |z|2 = r2 = zz; z2 /z1 := z2 z1 /|z1 |2 для ∀z1 6= 0; (z1 , z2 ), [z1 , z2 ] – соединяющие точки z1 и z2 прямолинейные интервал и сегмент соответственно; z = r(cos ϑ + i sin ϑ) – тригонометрическая форма комплексного числа; z = rei ϑ – показательная форма комплексного числа; ei ϑ = cos ϑ + i sin ϑ – формула Эйлера; (cos ϑ + i sin ϑ)n = cos nϑ + i sin nϑ – формула Муавра; z n := z| ·{z · · z} = rn ei nϑ = rn (cos nϑ + i sin nϑ), n ∈ N; √ n n z := w ⇔ wn = z; w = wk = √ n rei (ϑ+2πk)/n , k = 0, n − 1; ez := ex ei y = ex (cos y + i sin y) – показательная функция