Mengenlehre 004

OTMAR SPINAS MENGENLEHRE I MATHEMATISCHES SEMINAR DER CHRISTIAN-ALBRECHTS-UNIVERSITÄT ZU KIEL MENGENLEHRE I 2 INHALTSVERZEICHNIS 1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 Axiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3 Ordinalzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4 Transfinite Induktion und Rekursion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 5 Ordinalzahlarithmetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 6 Kardinalzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 7 Kardinale Arithmetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 8 Filter und Clubs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 9 Singuläre Kardinalzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 10 Wohlfundiertheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 11 Relativierung und Absolutheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 12 Reflexionsargumente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Anhang A Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 B Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 MENGENLEHRE I 3 1. EINFÜHRUNG MOTIVATION. Wichtige mathematische Begriffe können wie folgt als Mengen interpretiert werden: Funktionen: f: X
Y ist {
x, f(x): x  X}, Paare:
x, y  {{x}, {x, y}}, Relationen: z.B. 0 Kardinalzahlen für i < u="" es="" gilt="" wi="" u="" supwi.="" beweis.="" setze="" w="" #wi,="" g="" ="" wi.="" da="" wi="" ="" w="" für="" alle="" ="" 0="" u,="" folgt="" g="" ="" ="" w="" ="" u="" ="" w.="" umgekehrt:="" da="" wi="" ="" 1,="" alle="" 0u,="" ist="" u="" ="" 1="" ="" wi="" g.="" da="" wi="" g,="" alle="" i,="" folgt="" g="" sup="" wi="" w.="" es="" folgt="" gu!w"="" wu.=""
="" bemerkung.="" sei="" w="" eine="" limeskardinalzahl.="" dann="" existiert="" eine="" folge=""
wi0w,="" so="" daß="" wi="" ="" card,="" wi0w,="" alle="" 0w,="" und="" sup="" wi="" w="" (die="" folge="" also="" kofinal="" in="" w):="" dann="" ist="" w="" i
="" wi:="" aus="" lemma="" 7.2="" folgt:="" ="" wi="" ww="" w.="" bemerkung.="" zu="" i
iwi:="" falls="" wi="" w,="" alle="" i="" ="" i="" und="" z="" u,="" u="" card,="" so="" folgt="" i
w="" sws="" w="" .="" es="" gelten="" auch="" die="" folgenden="" rechenregeln:="" i
iwi="(i
IWi)" und="" i
iwi="" ws="" mit="" s="i
IUi." dies="" ist="" leicht="" einzusehen.=""> LEMMA 7.3. (Assoziativgesetz) Sei I = j
J Aj mit Aj  Aj‘ =
für alle j, j‘  J, j  j‘. Seien Wi, i  I, Kardinalzahlen. Es gilt: i
IWi =  (i
AjWi). LEMMA 7.4. ' U ( ( ( + T (++( 
Wi0U eine nichtfallende Folge von T (++ (Wi 800U Wi Wj). Es gilt Wi = (supWi). BEWEIS. Setze W
supWi. Es gilt Wi  W W. Umgekehrt sei XUU
U eine Bijektion. Setze Aj XC"U7. Somit Aj  Aj‘ =
für alle 0B0U. Außerdem |AjS U. Folglich ist Aj unbeschränkt in U (wäre