ALGEBRA I P. Stevenhagen
2017
INHOUDSOPGAVE ALGEBRA I 1. Wat is algebra?
7
Groepen, ringen en lichamen • Symmetrie¨en van de ruit • Rekenen modulo 8 • Symmetrie¨en van het vierkant • Permutaties van 4 elementen • Ruimtelijke symmetrie¨en • Opgaven
2. Permutatiegroepen
17
De groepsaxioma’s • Ordes van groepen en elementen • Permutatiegroepen • Cykelnotatie • Ondergroepen, cyclische groepen • De tekenafbeelding • Puzzeltje van Loyd • Opgaven
3. Symmetrie¨en van het vlak
31
Vlakke meetkunde • Isometrie¨en • De orthogonale groep • Vlakke symmetriegroepen • Teken van een isometrie • Meetkunde met complexe getallen • Vlakke transformatiegroepen • Opgaven
4. Homomorfismen
42
Homomorfismen, isomorfismen, automorfismen • Additieve notatie • Kern en beeld • Injectiviteit • Nevenklassen • De isomorfiestelling • Normaaldelers • Quoti¨entgroepen • Opgaven
5. Groepswerkingen
56
Kubus- en tetra¨edergroep • Baan, stabilisator, dekpunt • Banenformule • Combinatorische toepassingen • Reguliere werking • Conjugatiewerking • Stelling van Cauchy • Opgaven
6. Gehele getallen
71
Deling met rest • Ggd en kgv • Priemgetallen • Eenduidige priemfactorisatie • Ringen • De ring Z/nZ • Rekenen modulo n • Stellingen van Euler en Fermat • Opgaven
7. Factorisatie en cryptografie.
84
Primaliteit van grote getallen • Factorisatie van grote getallen • Cryptografie • Het RSAcryptosysteem • Digitale handtekeningen • Veiligheid van RSA • Discrete logaritmen • DiffieHellman protocol • Opgaven
8. Quoti¨enten en producten.
95
Ondergroepen onder quoti¨entafbeeldingen • Homomorfiestelling • Commutatorondergroep • Direct product • Semi-direct product • Opgaven
9. Abelse groepen
109
Exacte rijtjes • Splitsen van exacte rijtjes • Vrije abelse groepen • Structuurstelling • De groep (Z/nZ)∗ • Opgaven
10. Eindige groepen
124
Niet-abelse exacte rijtjes • Classificatie voor eenvoudige groepsordes • Sylow-p-ondergroepen • Constructie van normaaldelers • Oplosbare groepen • Simpele groepen • Opgaven
Tabel van kleine groepen Literatuurverwijzingen Europese pagina’s Oude tentamens Index
138 139 147 149 162
Verschijningsdatum van deze oplage: januari 2017 Iedere volgende versie bevat hopelijk minder typefouten en onnauwkeurigheden dan de huidige – stuur hiertoe alle op- en aanmerkingen naar
[email protected] Postadres van de auteur: Mathematisch Instituut Universiteit Leiden Postbus 9512 2300 RA Leiden
Voorwoord Algebra 1 is het eerste van de drie colleges waaruit het algebra-curriculum aan de Universiteit Leiden bestaat. Met ingang van 2004 maakt dit college deel uit van de ge¨ıntegreerde Delfts-Leidse bacheloropleiding wiskunde. De verdeling van de algebra over drie colleges komt grof gezegd overeen met de traditionele indeling groepen–ringen–lichamen. Dit correspondeert niet zozeer met een opklimmende moeilijkheidsgraad, als wel met een voortschrijdende ‘specialisatie’: een ring is een groep met een extra bewerking, en een lichaam is een ring met speciale mooie eigenschappen. Deze syllabus, die hoofdzakelijk aan groepentheorie gewijd is, is bedoeld als eerste kennismaking met de algebra. De vereiste voorkennis is gering, en sommige interessante voorbeelden van groepen, zoals matrixgroepen over eindige lichamen of fundamentaalgroepen van topologische ruimten, zullen daarom niet of nauwelijks aan de orde komen. De lezer wordt geacht een idee te hebben van wat een wiskundig bewijs is, in het bijzonder een bewijs met volledige inductie of uit het ongerijmde. Eenvoudige beg