行列解析の基礎－advanced線形代数

SGCライブラリー 79 行列解析の基礎 Advanced線形代数 著 山本哲朗 ~ サイエンスネ土 まえがき 本書は線形代数の初歩を一通り学んだ、ことがあるか，もしくは現在学びつつある人達のための副読本 として，行列に関する既修の知識の再確認と通常の教科書・参考書に記載されていない興味ある話題の 提供を目的としている．それらは，例えば I ¥l/p l . φp ( A )=( 2 = i , jα Ii j l P ) (A=（向））が行列ノルムとなるために正数 pがみたすべき条件（定理 4 . 2 ,4 . 3 ) 2 .半正定値 Hermite行列に対する p乗根の一意存在（定理 5 . 7）とその計算法（ § 5 . 4 ) 3 .正規行列と Hermite行列の固有値に関する Ho 百m an-Wielandtの摂動定理（定理 6 . 1 3 ,6 . 1 4 ) 4 .非負行列の固有値・固有ベクトルに関するいわゆる Perron-Frobeniusの理論（定理 7 . 47 . 8 ) 5 .九行列を係数行列とする準線形方程式 Ax+F(x)=bの解の一意存在に関する S a n d b e r g W i l l s o n , J r .の定理（定理 9 . 5 ) 6 .行列方程式 AX+XB=Cが任意の C に対して一意解をもつための必要十分条件（定理 1 0 . 8）と 0 . 9 ) 解の積分表示（定理 1 等々，列記すれば枚挙にいとまがない．おそらく読者は本書のあちこちで類書にない話題（概念，結果， 証明等）に遭遇されることであろう．著者はひそかにこれを期待している次第である． なお， J ordan分解の導出には西岡久美子氏の方法［33］を用い， Hermite行列の固有値に関するミニ を マックス定理，分離定理，摂動定理等の導出には，次元等式を用いる池辺八洲彦氏の鮮やかな技法［26］ 参考にした． 本書が読者に行列の魅力の一端をいささかでも伝え得れば，著者の喜びこれに優るものはない． 最後に，本書原稿のタイプはプラスアイ代表富岡乃美氏にお願いした．また出版に際し，サイエンス 社編集部長田島伸彦氏，「数理科学」編集部平勢耕介氏とピーカム杜佐藤亨氏の御世話になった．ここに 記して各位に深甚なる謝意を表する． 2010年 11月 山本哲朗 目次 第 1章線形代数の基礎（ 1 ) 1 1 . 1 行列 1 1 . 2 行列の演算．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 2 1 . 3 行列式．．．．．．．．．．． 4 1 . 4 終結式．．．．．．．．．． 1 0 1 . 5 線形空間．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 1 1 1 . 6 内積空間． 1 7 1 . 7 ノルム空間．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 2 1 1 . 8 値域，零空間，ランク．．．．．．． 2 5 1 . 9 アセントとデイセント． 30 1 . 1 0 ブロック行列と S c h u r補元．．． 3 1 1 . 1 1 既約行列．．．． 3 3 1 . 1 2 優対角行列．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 3 6 i t k h o 宜の定理．．．．．．．．．．．．． 1 . 1 3 2重確率行列と B 37 第 2章線形代数の基礎｛2 ) 39 2 . 1 固有値と固有ベクトル．．．．．．．．．．．．．．．．． 39 2 . 2 行列の 3角化と対角化 4 1 2 . 3H a m i l t o n C a y l e yの定理と最小多項式．．．．．．．．．．．． 4 5 2 . 4 3重対角行列．．．．．．．．．．．．．．．．．． 49 2 . 5 特異値．．．．．．．．．．． 5 0 2 . 6 Hermite行列 5 1 2 . 7 正定値行列と半正定値行列 5 2 2 . 8 2次形式．．．．．．．．．． 5 5 第 3章行列の分解 59 3 . 1 LU分解．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 5 9 3 . 2 LLt分解．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 63 3 . 3 QR分解．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 6 5 3 . 4 特異値分解．．．．．．．．．． 66 3 . 5 極分解．．．．．．．．．．． 6 8 3 . 6 Jordan分解．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 69 第 4章 行列ノルムと行列関数 77 4 . 1 行列ノルム．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 77 4 . 2 ベクトルノルムに従属する行列ノルム 7 8 r o b e n i u sノルムの拡張 4 . 3 F 80 4 . 4 行列ノルムと固有値の関係 8 5 4 . 5 行列関数．．．．．．．．．．．．．．．． 87 4 . 6 行列の微分・積分． 9 2 4 . 7 行列式の微分 93 第 5章 A Bと B Aの固有値 94 5 . 1 ABと BAの固有値．．．．．．．．．．．．．．．．． 9 4 5 . 2 可換な行列．．．．．．．．．．．． 96 5 . 3 半正定値 Hermite行列の p乗根．．．．．．．．．．．− 9 9 5 . 4 P乗根を求めるアルゴリズム 1 0 2 5 . 5 Kantorovichの不等式と悶i e i n b o l d tの不等式 1 0 4 第 6章 固有値の評価定理 107 6 . 1 G e r s c h g o r i nの定理とその周辺． 107 6 . 2 Hermite形式と基本不等式．．．．．．．．．． 1 1 0 6 . 3 ミニマックス定理．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 1 1 3 6 . 4 分離定理． 1 1 4 6 . 5 摂動定理． 1 1 6 6 . 6 Hoffman-Wielandtの定理．．．．．．．．．．．．．． 1 1 8 6 . 7 Schur補元の固有値．．．．．．．．．．．．．．．．． 1 2 1 第 7章 非負行列 123 7 . 1 非負行列．． 1 2 3 e r r o n F r o b e n i u sの定理． 7 . 2 正行列に対する P 1 2 6 7 . 3 非負行列に対する F r o b e n i u sの定理．．．．．．．． 1 2 8 7 . 4 既約非負行列に対する F r o b e n i u sの定理．．．．．．．．．．． 1 2 9 7 . 5 巡回指数 k>lの既約非負行列に対する Frobeniusの定理．．．．．．．．．．．．．．． 1 3 2 第 8章