лекции по высшей математике. алгебра и геометрия. часть 1

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ (АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ) ЧАСТЬ ПЕРВАЯ Составил кандидат физ.-мат. наук, доцент Горунович С.А. МИНСК, 2004 Лекция 1 МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ § 1. МАТРИЦЫ Понятие матрицы имеет важное значение в экономике и бизнесе, поскольку многие математические модели экономических процессов компактно и без потери наглядности записываются на языке матриц. Пусть P - множество элементов определенной структуры. Это могут быть, на пример, действительные или комплексные числа. Таблица вида ⎛ a11 a12 L a1n ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ a21 a 22 L a 2 n ⎟ A= ⎜ L L L L ⎟ , ⎜ ⎟ ⎜ am1 a m 2 L amn ⎟ ⎝ ⎠ составленная из элементов множества P , содержащая m строк и n столбцов, называется матрицей порядка m × n . Числа a11 ,..., amn называются элементами матрицы. В дальнейшем для определенности будем полагать P = R . Компактно матрица записывается в виде A = aij или A = [ aij ], где i = 1,2,..., m – индекс строки, а j = 1,2,..., n – индекс столбца. Говорят, что элемент aij матрицы A расположен на пересечении i -й строки и j -го столбца. Две матрицы A и B порядка m × n считаются равными, если равны все их соответствующие элементы, т.е. aij = bij , для всех i = 1,2,..., m и j = 1,2,..., n . Если m = n , т.е. число её строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной n-го порядка. Элементы a11 , a 22 ,..., a nn образуют главную диагональ квадратной матрицы. Квадратная матрица называется диагональной, если равны нулю все её элементы, кроме элементов главной диагонали, т.е.: ⎛ a11 0 ⎜ ⎜ 0 a 22 A= ⎜ L L ⎜⎜ 0 ⎝0 L L 0 ⎞ ⎟ 0 ⎟ . L L⎟ ⎟⎟ L a nn ⎠ Если у диагональной матрицы все элементы главной диагонали равны единице, то она называется единичной, обозначается буквой E и имеет вид 2 ⎛1 ⎜ ⎜0 E =⎜ ... ⎜⎜ ⎝0 0 ... 0 ⎞ ⎟ 1 ... 0 ⎟ . ... ... 0 ⎟ ⎟⎟ 0 ... 1 ⎠ Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю. Возможны два варианта треугольной матрицы: ⎛ b11 0 L 0 ⎞ L a1n ⎞ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ b21 b22 L 0 ⎟ L a2n ⎟ , или B= ⎜ L L L L ⎟. L L⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎟ ⎜ bm1 bm 2 L bmn ⎟ L a mn ⎠ ⎝ ⎠ Матрица А называется треугольной сверху, B – треугольной снизу. ⎛ a11 a12 ⎜ ⎜ 0 a 22 A= ⎜ L L ⎜⎜ 0 ⎝0 Матрица любого размера, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается буквой O . Квадратная матрица называется симметрической, если равны между собой все её элементы, симметричные относительно главной диагонали, т.е. aij = a ji для всех i, j = 1,2,..., n . Особый интерес представляют матрицы, содержащие один столбец или одну строку. Их называют вектором-столбцом, или вектором-строкой соответственно. Такие матрицы имеют вид: ⎛ a1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜a ⎟ A = ⎜ 2 ⎟ - вектор-столбец, B = (b1 M ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ am ⎠ b2 L bn ) - вектор-строка. § 2. ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ Сложение матриц Суммой двух матриц A = aij и B = bij одинакового порядка m × n называется матрица C = cij того же порядка, такая что cij = aij + bij , для всех i = 1,2,..., m, j = 1,2,..., n , т.е. при сложении матриц происходит сложение соответствующих элементов. 3 Пример 1.