E-Book Content
И.Я.Бакельман, А.Л.Вернер, Б.Е.Кантор ВВЕДЕНИЕ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНУЮ ГЕОМЕТРИЮ «В ЦЕЛОМ» М.: НАУКА, 1973
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Глава I. Топологические и метрические пространства § 1. Топологические пространства § 2. Непрерывные отображения § 3. Метрические пространства § 4. Отображение компакта в метрическое пространство § 5. Кривые в метрическом пространстве. Пространства с внутренней метрикой § 6. Линейные пространства. Выпуклые множества § 7. Выпуклые множества в конечномерных евклидовых пространствах § 8. Фундаментальная группа. Накрытия. Клеточные пространства Глава II. Многообразия § 9, Топологические многообразия. Гладкие и римановы многообразия § 10. Двумерные топологические многообразия § 11. Векторные поля на двумерных многообразиях. Теорема Пуанкаре § 12. Двумерные многообразия ограниченной кривизны Глава III. Поверхности § 13. Понятие поверхности § 14. Краткие сведения из дифференциальной геометрии § 15. Сферическое отображение поверхности § 16. Локальные свойства гладких и регулярных поверхностей § 17. Интегральная гауссова кривизна полных некомпактных двумерных римановых многообразий § 18. Полные поверхности в евклидовом пространстве § 19. Изометрическое погружение римановых многообразий в Em Глава IV. Выпуклые поверхности и эллиптические уравнения § 20. Краткие сведения из теории эллиптических уравнений. Геометрические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям § 21. Единственность замкнутой выпуклой поверхности с заданной функцией главных радиусов кривизны § 22. О связи внешней и внутренней геометрий выпуклой поверхности § 23. R-кривизна выпуклой поверхности. Теоремы компактности и сходимости § 24. Обобщенные решения уравнений Монжа — Ампера § 25. Регулярные решения задачи Дирихле для эллиптических уравнений Монжа — Ампера § 26. Регулярность обобщенных решений уравнений Монжа — Ампера § 27. Поверхности с данной средней кривизной Глава V. Выпуклые поверхности с данной метрикой
5 9 9 18 26 36 41 49 62 85 106 106 121 154 169 178 178 184 207 220 237 244 258 271 271 293 301 310 317 330 343 350 355
§ 28. Однозначная определенность выпуклых поверхностей своей 355 метрикой § 29. Существование замкнутой выпуклой поверхности в E3 с данной 371 метрикой Глава VI. Седловые поверхности 389 § 30. Внутренняя полнота и неограниченность седловых поверхностей 389 § 31. Связь между внутренней и внешней геометриями полных седловых 409 поверхностей § 32. Полные седловые поверхности со взаимно однозначным 419 сферическим изображением Литература 429 Предметный указатель 437 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Векторы ортогональные 63 Автоморфизм 51, 112 Вершины многогранника 82 — внутренний 51 — многогранной метрики 170 Аксиома отделимости (Хаусдорфа) — многоугольника 123 12 Включение 19 Аксиомы топологического Вложение 22 пространства 9 Внутренняя геометрия поверхности Алфавит 100 184 Аппроксимирующая Вполне аддитивная функция последовательность множества 172 многоугольных областей 149 Вращение векторного поля 155, 160 Атлас 113 — седлового рога 405 — класса C 113 Вторая квадратичная форма — максимальный 113 поверхности 188 База касательного расслоения 118 Выпуклая комбинация 58 — накрытия 91 Базис линейного пространства 52 — — точек в En 64 — ортонормированный 63 — оболочка 59 — топологического пространства 15 — шапочка 75 Бесконечно удаленная (б. уд.) точка Выпуклое тело 65 многообразия 149, 237 Выпуклый конус 66 Букет окружностей 24 Гёльдера коэффициент 57 Вариация поворота 174 — условие 56 Вектор 52 Геодезическая 48 — базисный 52 Гиперплоскость 65 — бинормали 185 Гиперповерхность 178 — геодезической нормали 186 Главные нормальные кривизны — главной нормали 185 поверхности 190 — касательный 116, 117 Гомеоморфизм 21 — — к пути 180 — локальный 22 — кривизны 185 Гомоморфизм 51 — направляющий 65 Гомотопия 85
— линейная 86 — нулю 89 — свободная 89 — связанная 86 Гомотопные векторные поля 157 Горбушка 230 Граница множества 10 Граничная пол