E-Book Content
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ РАДИОТЕХНИКИ, ЭЛЕКТРОНИКИ И АВТОМАТИКИ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)
А.И.Морозов ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА Электроны в кристалле. Металлы. Полупроводники. Диэлектрики. Магнетики. Сверхпроводники
Учебное пособие
Москва 2008
2
Данное учебное пособие является продолжением учебного пособия: А.И.Морозов «Физика твердого тела. Кристаллическая решетка. Фононы», далее цитируемого как I. В настоящем пособии рассмотрены свойства свободного электронного газа и поведение электронов в периодическом потенциале кристаллической решетки, а также физические свойства металлов, полупроводников, диэлектриков, магнитоупорядоченных веществ и сверхпроводников. Изучены процессы экранирования. На основе кинетического уравнения Больцмана исследованы кинетические явления в металлах и полупроводниках. Читатель познакомится в рамках модели Хаббарда с теорией фазового перехода металлдиэлектрик, а также с явлением андерсоновской локализации. Пособие предназначено для студентов специальности 200100 дневной формы обучения.
3
Введение Данное учебное пособие является продолжением учебного пособия «ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА. Кристаллическая структура. Фононы» (далее I). В нем изложена теория электронного ферми-газа и зонная теория твердых тел на основе приближения почти свободных электронов и приближения сильной связи. В пособии рассмотрены свойства металлов, полупроводников, диэлектриков, магнитоупорядоченных веществ и сверхпроводников. Читатель познакомится в рамках модели Хаббарда с теорией фазового перехода металл-диэлектрик, а также с явлением андерсоновской локализации. Глава 1. Электронный газ 1.1. Модель желе Приступим к изучению свойств электронов в кристаллической решетке. Напомним, что при изучении динамики решетки мы исходили из адиабатического приближения, то есть считали, что распределение электронной плотности соответствует минимуму энергии кристалла при заданных положениях ядер составляющих его атомов или ионов. В данной главе будем пренебрегать кулоновским взаимодействием электронов друг с другом. Для начала рассмотрим модель желе. Согласно этой модели, положительный заряд ионных остовов, каждый из которых представляет собой ядро атома в окружении электронов внутренних заполненных оболочек, предполагается размазанным по объему кристалла с постоянной плотностью. Такой положительный фон обеспечивает электронейтральность кристалла, не нарушая его однородности даже на микроуровне. Для электронов внешних незаполненных оболочек кристалл представляет в модели желе трехмерную потенциальную яму. Состояния электрона в этой яме характеризуются волновым вектором k и описываются волнами де-Бройля:
4
εt ψ = c exp(ik r − i ) ,
(1.1)
где ε - энергия электрона, r и t - координата и время, - постоянная Планка. Аналогично случаю упругих волн (I, глава 6), используем периодические граничные условия для волн де-Бройля. В результате получим разрешенные значения волновых векторов. В случае кристалла в форме прямоугольного параллелепипеда с размерами Lx , L y и Lz kx =
2π 2π 2π n ; kz = m ; ky = p, Lz Lx Ly
(1.2)
где m, n, p - целые числа. Электроны являются ферми-частицами со спином 1/2 (в единицах ). В отсутствие внешнего магнитного поля и магнитного упорядочения состояние электронов с заданным волновым вектором k оказывается двукратно вырожденным по величине проекции спина на выделенную ось z: s z = ±1 / 2 . Число состояний dN , приходящихся на объем d 3k в пространстве волновых векторов равно Vd 3k (2s + 1) , (1.3) dN k = 3 (2π ) где V - объем кристалла. Если перейти от волнового вектора к импульсу электрона p = k , то для числа состояний в объеме d 3 p в пространстве импульсов получим Vd 3 p dN p = (2s + 1) . (1.4) (2π ) 3 Поскольку энергия свободного электрона ε = p 2 / 2m , где m - его масса, то после замены