E-Book Content
В.В.Вавилов, А.В.Устинов
МНОГОУГОЛЬНИКИ НА РЕШЕТКАХ
Москва Издательство МЦНМО 2006
УДК 514.112 ББК 22.151.0 В12
В12
Работа подготовлена к печати в рамках существующей системы научных грантов Клуба ФМШ Колмогорова, выделяемых на конкурсной основе преподавателям и выпускникам школы им. А. Н. Колмогорова
Вавилов В. В., Устинов А. В. Многоугольники на решетках. — М.: МЦНМО, 2006. — 72 с.: ил. ISBN 5-94057-246-4 Решетки на плоскости являются тем замечательным мостом (с достаточно интенсивным двусторонним движением), который позволяет задачи алгебры, анализа, теории чисел переводить на геометрический язык и наоборот — задачи дискретной геометрии облекать в аналитическую форму. Основу книги составляют вопросы, связанные с возможностью расположения на решетках правильных или «полуправильных» многоугольников (только с равными сторонами или только с равными углами), формулой Пика для площади многоугольника на решетке и ее тесной связью с комбинаторной формулой Эйлера. Книга написана на основе лекций, которые один из авторов читал в школе им. А. Н. Колмогорова при МГУ, на Малом мехмате МГУ, а также для студентов, аспирантов и преподавателей вузов как у нас в стране, так и за рубежом. Библиография: 51 наименование.
ББК 22.151.0
ISBN 5-94057-246-4
c В. В. Вавилов, А. В. Устинов, 2006.
c МЦНМО, 2006.
Оглавление
Предисловие
4
Глава 1. Решетки на плоскости и в пространстве § 1.1. Основные свойства решеток . . . . . . . § 1.2. Фундаментальный параллелограмм . . . § 1.3. Кристаллографическое неравенство . . . § 1.4. Области Дирихле . . . . . . . . . . . . . Упражнения и задачи . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . .