E-Book Content
Stochastische Methoden Vorlesungsskript WS 2005/2006 Universit¨at Kaiserslautern Rainer Siegmund-Schultze 11. M¨arz 2006 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Grundbegriffe 4 2.1 2.2 2.3 2.4 Vorbemerkungen zur Axiomatik Unabh¨ angigkeit von Ereignissen Unendliche Ereignisr¨ aume . . . Die Verteilungsfunktion . . . . der WT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 8 9 15 3 Abgeleitete Zufallsgr¨ oßen und Unabh¨ angigkeit 18 4 Bedingte Verteilungen 21 5 Die geometrische und die Exponentialverteilung 24 6 Binomialverteilung, Normalverteilung und der Grenzwertsatz von Moivre-Laplace 25 7 Erwartungswert und Varianz 7.1 Kovarianzmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Das schwache Gesetz der großen Zahlen im Fall endlicher Varianz 7.3 Mehrdimensionale Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . 37 43 44 46 8 Ein Anwendungsbeispiel f¨ ur das Gesetz der großen Zahlen: Der Kodierungssatz von Shannon 51 9 Das Lemma von Borel-Cantelli und die fast sichere Konvergenz der H¨ aufigkeiten 57 1 10 Das Starke Gesetz der großen Zahlen f¨ ur unabh¨ angige Zufallsgr¨ oßen 62 11 Einige Grundbegriffe der Mathematischen Statistik 69 11.1 Hypothesentests und relative Entropie . . . . . . . . . . . . . . . 73 12 Stochastische Prozesse 79 12.1 Markowsche Prozesse mit diskretem Zustandsraum und diskreter Zeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 13 Anhang: Integration u aumen ¨ber Maßr¨ 13.1 Nichtnegative Funktionen . . . . . . . 13.2 Das Integral reellwertiger Funktionen . 13.3 Vektorwertige Funktionen . . . . . . . 13.4 Lp -R¨ aume meßbarer Funktionen . . . 13.5 Die Jensensche Ungleichung . . . . . . 14 Index 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 100 102 104 104 107 108 Einleitung Diese Vorlesung wird Sie mit den Grundlagen einer Teildisziplin der Mathematik vertraut machen, in deren Zentrum der Zufallsbegriff steht. Zufall ist eigentlich der Inbegriff von Regellosigkeit und steht damit zun¨ achst in einem ziemlichen Gegensatz dazu, daß die Mathematik ja gerade diejenige Wissenschaft ist, die die in der Realit¨ at anzutreffenden formalisierbaren Regeln und Strukturen und die daraus logisch ableitbaren Aussagen untersucht, etwa in klassischen Disziplinen wie der Algebra, der Geometrie, Zahlentheorie, Analysis oder mathematischer Logik. Sie stellt Modelle bereit, mit deren Hilfe sich Vorhersagen u ¨ber das Verhalten realer Systeme, abgeleitet aus deren strukturellen Eigenheiten und inneren Gesetzm¨ aßigkeiten, ergeben. Andererseits wird ein eintretendes Ereignis als zuf¨ allig bezeichnet, wenn es sich gerade nicht auf irgendeine Weise aus den bekannten Anfangsbedingungen und Gesetzm¨ aßigkeiten heraus erkl¨ aren l¨ aßt. Seit je versucht der Mensch, die einer Abfolge von Ereignissen zugrunde liegenden inneren Gesetzm¨ aßigkeiten umfassend zu ergr¨ unden, um aus dieser Erkenntnis Nutzen zu ziehen. Der (objektive) Zufall ist aber ein Moment, in dem etwas im Kern grundloses passiert, etwas, das in dem konkreten Ergebnis unvorhersehbar ist, sich nicht aus der Vergangenheit eindeutig ableiten l¨ aßt. Wie kann denn das definitiv unvorhersehbare Gegenstand einer wissenschaftlichen, noch dazu mathematischen Disziplin sein?? Es ist doch eigentlich -an di