E-Book Content
CALCULUS OF VARIATIONS MA 4311 SOLUTION MANUAL B. Neta Department of Mathematics Naval Postgraduate School Code MA/Nd Monterey, California 93943 June 11, 2001 c 1996 - Professor B. Neta 1 Contents 1 2 3 4 5 Functions of n Variables 1 Examples, Notation 9 First Results 13 Variable End-Point Problems 33 Higher Dimensional Problems and Another Proof of the Second Euler Equation 54 6 Integrals Involving More Than One Independent Variable 74 7 Examples of Numerical Techniques 80 8 The Rayleigh-Ritz Method 85 9 Hamilton's Principle 91 10 Degrees of Freedom - Generalized Coordinates 101 11 Integrals Involving Higher Derivatives 103 i List of Figures 1 :::::::::::::::::::::: 2 :::::::::::::::::::::: 3 :::::::::::::::::::::: 4 :::::::::::::::::::::: 5 :::::::::::::::::::::: 6 :::::::::::::::::::::: 7 :::::::::::::::::::::: 8 :::::::::::::::::::::: 9 :::::::::::::::::::::: 10 Plot of y = ` and y = 1 tan(`) ; sec(`) 2 ii : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 5 64 64 81 82 83 84 87 90 95 Credits Thanks to Lt. William K. Cooke, USN, Lt. Thomas A. Hamrick, USN, Major Michael R. Huber, USA, Lt. Gerald N. Miranda, USN, Lt. Coley R. Myers, USN, Major Tim A. Pastva, USMC, Capt Michael L. Shenk, USA who worked out the solution to some of the problems. iii