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Skriptum Lineare Algebra I Prof. Dr. Ren´e Grothmann Wintersemester 2004/05 2 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen der Mathematik 9 1.1 Einf¨ uhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Mathematische Logik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.1 Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.2 Axiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.3 S¨ atze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.4 Logische Aussagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.5 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2.6 Beweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Mengen und Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.3.1 Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.3.2 Gleichheit von Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.3.3 Potenzmenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.3.4 Vereinigung und Schnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.3.5 Relationen und Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.3.6 Bild, Urbild, Umkehrabbildung . . . . . . . . . . . . . . . 31 Die nat¨ urlichen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1.4.1 Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1.4.2 Rekursive Konstruktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . .