E-Book Overview
Dieses Buch bietet eine schlanke und elegante Einführung in die Analysis einer reellen Variablen für Studierende der Mathematik ab dem ersten Semester. Das Wesentliche wird klar und mit möglichst einfacher Notation formuliert. Der Schwerpunkt liegt auf den Konzepten und Ideen, weniger auf Formeln und Rechenfertigkeit. Ausgehend von der axiomatischen Begründung der reellen Zahlen werden die zentralen Begriffe Grenzwert, Vollständigkeit und Stetigkeit diskutiert. Auf diesen bauen das Integral und das Differenzial auf. Zu jedem Kapitel gibt es zahlreiche Aufgaben, die auch teilweise weiterführende Ergebnisse entwickeln. Zur Kontrolle werden die vollständigen Lösungen auf der Website des Verlages unter „Zusätzliche Informationen“ zum Buch bereit gestellt.
Dieser Band findet seine Fortsetzung in den Bänden "Etwas mehr Analysis" und "Noch mehr Analysis".
E-Book Content
Jürgen Pöschel Etwas Analysis Eine Einführung in die eindimensionale Analysis Etwas Analysis Jürgen Pöschel Etwas Analysis Eine Einführung in die eindimensionale Analysis Jürgen Pöschel Fachbereich Mathematik Universität Stuttgart Stuttgart, Deutschland ISBN 978-3-658-05798-5 DOI 10.1007/978-3-658-05799-2 ISBN 978-3-658-05799-2 (eBook) Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. Springer Spektrum © Springer Fachmedien Wiesbaden 2014 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Springer Spektrum ist eine Marke von Springer DE. Springer DE ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media www.springer-spektrum.de Für Muriel Amiskwia Sima Vorwort Die Analysis ist eine der tragenden Säulen der modernen Mathematik. Ihre zentralen Begriffe sind die des Grenzwerts, der Vollständigkeit und der Stetigkeit. Auf diesen bauen das Integral und das Differenzial auf. – Darum wird es hier gehen. Ziel ist es, das Wesentliche einfach und prägnant zu formulieren und zu begründen, mit möglichst wenig formelhaften Aufwand und klarer, einfacher Notation. Der Schwerpunkt liegt auf den Konzepten und Ideen, nicht auf Formeln und Rechenfertigkeit. Ausgangspunkt ist die axiomatische Begründung der reellen Zahlen und vor allem das Vollständigkeitsaxiom. Dieses führt direkt zum Begriff der konvergenten Folge und und ihres Grenzwerts, und im nächsten Schritt zum Begriff der Cauchyfolge. Deren Konvergenz gegen einen Grenzwert wird durch das Vollständigkeitsaxiom garantiert. An dieser Stelle ergibt sich bereits ganz natürlich ein Blick auf vollständige normierte Räume. Normen sind nichts anderes als verallgemeinerte Beträge, und in einem normierten Raum will man ja auch, dass Cauchyfolgen konvergieren. Der n-dimensionale reelle Raum mit der euklidischen Norm ist hier der Prototyp, und diese Anschauung genügt völlig zum Verständnis des Textes beim ersten Lesen. Der Begriff der Stetigkeit nimmt den breitesten Raum ein. Erfahrungsgemäß bereitet die ε-δ-Definition den meisten Anfängerinnen und Anfängern Schwierigkeiten. Es erfordert jedoch keinen zusätzlichen Aufwand, diese gleichzei