задачи на экстремум при наличии ограничений

EXTREMAL PROBLEMS WITH CONSTRAINTS V. V. DIKOUSSAR The paper represents a short essay of origin and development of extremal problems with constraints: mathematical programming, calculus of variations and optimal control. Examples of extremal problems are given. Problems of formulation are discussed. © ÑËÍÛÒ‡ Ç.Ç., 1999 ä‡ÚÍËÈ Ó˜ÂÍ ËÒÚÓËË ‚ÓÁÌËÍÌÓ‚ÂÌËfl Ë ‡Á‚ËÚËfl ˝ÍÒÚÂχθÌ˚ı Á‡‰‡˜ Ò Ó„‡Ì˘ÂÌËflÏË: χÚÂχÚ˘ÂÒÍÓ ÔÓ„‡ÏÏËÓ‚‡ÌËÂ, ‚‡ˇˆËÓÌÌÓ ËÒ˜ËÒÎÂÌËÂ Ë ÓÔÚËχθÌÓ ÛÔ‡‚ÎÂÌËÂ. é·ÒÛʉ‡˛ÚÒfl ÔÓÒÚ‡ÌÓ‚ÍË Á‡‰‡˜. ЗАДАЧИ НА ЭКСТРЕМУМ ПРИ НАЛИЧИИ ОГРАНИЧЕНИЙ Ç. Ç. ÑàäìëÄê åÓÒÍÓ‚ÒÍËÈ ÙËÁËÍÓ-ÚÂıÌ˘ÂÒÍËÈ ËÌÒÚËÚÛÚ, ÑÓ΄ÓÔÛ‰Ì˚È åÓÒÍÓ‚ÒÍÓÈ Ó·Î. ÇÇÖÑÖçàÖ В математике исследование задач на максимум и минимум началось давно, примерно 25 веков назад. Но только 300 лет назад были созданы первые общие методы решения и исследования задач на экстремум [1, 2]. Интенсивное развитие вариационного исчисления привело к созданию стройной теории для определенного класса задач. Однако потребности практической жизни, особенно в области экономики и техники, в последнее время выдвинули такие новые задачи, которые в большинстве случаев не удавалось решать старыми методами. Необходимость решения новых задач (в частности, космос, авиация и т.д.) привела к созданию новой теории, получившей название теории оптимального управления. Основы теории оптимального управления были заложены академиком Л.С. Понтрягиным и группой его сотрудников в 50–60-е годы. В 1961 году вышла в свет первая монография [3], в которой излагались математические основы неклассического вариационного исчисления. Основным элементом в задаче Понтрягина выступает ограничение на управляющие воздействия. Кроме того, Л.С. Понтрягин указал новую форму необходимых условий экстремума. Сегодня даже трудно поверить, насколько привычным и необходимым для теоретиков и прикладников стал аппарат теории управления. Достаточно только перечислить некоторые монографии, чтобы оценить практическое применение теории оптимального управления: “Ядерные реакторы и принцип максимума Понтрягина”, “Оптимальное управление нагревом металла”, “Оптимальное управление электромеханическими устройствами” и т.д. Параллельно с принципом максимума Понтрягина происходило дальнейшее развитие классического вариационного исчисления для нового класса задач с ограничением на управление и фазовые координаты. В 1963 году А.А. Милютин, используя идеи и методы функционального анализа, получил уравнение Эйлера для общей задачи оптимального управления (совместное ограничение на фазовые координаты и управления) и указал связь уравнения Эйлера с принципом максимума [4]. В 1966 году автор впервые в СССР и за рубежом решил задачу входа аппарата в атмосферу с учетом ÑàäìëÄê Ç.Ç. áÄÑÄóà çÄ ùäëíêÖåìå èêà çÄãàóàà éÉêÄçàóÖçàâ 117 ограничений на величину полной перегрузки. Данное ограничение относится к классу нерегулярных смешанных ограничений. В 1968 году А.Я. Дубовицкий и А.А. Милютин опубликовали статью о нерегулярном принципе максимума [4]. Анализ перехода от уравнения Эйлера к принципу максимума называется расшифровкой. Задача расшифровки является довольно трудной для нерегулярных смешанных ограничений. Следует заметить, что наличие нерегулярной ситуации в практических задачах означает по существу локальную неуправляемость в определенных точках оптимальной траектории. Особенно много нерегулярных смешанных ограничений возникает в экономике, динамике полета и т.д. Возможность продолжения траектории через нерегулярную точку означает, что нужно заранее выбрать необходимое управление, чтобы гладко пройти критическую точку. Подобного рода задачи получили название узких мест в управлении реальными процессами. Согласно табелю о рангах, по степени трудности задачи с нерегулярными смешанными ограничениями занимают первое место в теории оптимального управления. Обсуждая свою знаменитую программу, Д. Гильбе