системы чисел

NUMBER SYSTEMS V. V. SIL’VESTROV The paper deals with procedures and principles of constructing of number systems generalizing real numbers. The examples are: complex, double and dual numbers, quaternions, octaves, Pauli’s numbers. The matrix representation of certain numbers is considered. ê‡ÒÒ͇Á˚‚‡ÂÚÒfl Ó ÒÔÓÒÓ·‡ı Ë ÔË̈ËÔ‡ı ÔÓÒÚÓÂÌËfl ÒËÒÚÂÏ ˜ËÒÂÎ, Ó·Ó·˘‡˛˘Ëı ‰ÂÈÒÚ‚ËÚÂθÌ˚ ˜ËÒ·. èË‚Ó‰flÚÒfl ÔËÏÂ˚: ÍÓÏÔÎÂÍÒÌ˚Â, ‰‚ÓÈÌ˚Â Ë ‰Û‡Î¸Ì˚ ˜ËÒ·, Í‚‡ÚÂÌËÓÌ˚, ÓÍÚ‡‚˚, ˜ËÒ· è‡ÛÎË. ê‡ÒÒχÚË‚‡ÂÚÒfl χÚ˘̇fl ÙÓχ Ô‰ÒÚ‡‚ÎÂÌËfl ÌÂÍÓÚÓ˚ı ˜ËÒÂÎ. СИСТЕМЫ ЧИСЕЛ Ç. Ç. ëàãúÇÖëíêéÇ óÛ‚‡¯ÒÍËÈ „ÓÒÛ‰‡ÒÚ‚ÂÌÌ˚È ÛÌË‚ÂÒËÚÂÚ ËÏ. à.ç. ìθflÌÓ‚‡, ó·ÓÍÒ‡˚ ÇÇÖÑÖçàÖ Проблемы математики, связанные с решением алгебраических уравнений, в частности простейшего квадратного уравнения x2 + 1 = 0, привели к появлению в XVI веке представлений о мнимых числах, а в XVIII веке – комплексных чисел, которые, обобщая действительные числа, обладают основными свойствами последних. Например, операции сложения и умножения в множестве комплексных чисел обладают всеми важнейшими свойствами сложения и умножения действительных чисел: они коммутативны, ассоциативны, дистрибутивны и обратимы, то есть возможны вычитание и деление. В то же время в множестве комплексных чисел нет естественного упорядочения: для них не определены понятия “больше” и “меньше”. В последующем комплексные числа нашли широкое применение не только в самой математике, но и в физике, механике и других областях естествознания. Именно это обстоятельство послужило причиной поиска новых систем чисел, которые, являясь обобщением действительных и комплексных чисел, обладают если не всеми, то хотя бы частью основных свойств последних. Так возникли системы двойных и дуальных чисел, кватернионов, октав, чисел Клиффорда, Грассмана и др. В основе построения указанных и других систем чисел лежат разные методы, среди которых особое место занимают процедуры удвоения. В данной статье рассматриваются две такие процедуры и примеры наиболее часто встречаемых в приложениях систем чисел, получаемых с помощью этих процедур. Однако не все системы чисел можно получить с помощью той или иной процедуры удвоения. Так, система гиперкомплексных чисел ранга n может быть получена таким путем, только если n – степень двойки. © ëËθ‚ÂÒÚÓ‚ Ç.Ç., 1998 èêéñÖÑìêÄ ìÑÇéÖçàü ÉêÄëëåÄçÄ–äãàîîéêÑÄ 1-È ¯‡„. äÓÏÔÎÂÍÒÌ˚Â, ‰‚ÓÈÌ˚Â Ë ‰Û‡Î¸Ì˚ ˜ËÒ· Пусть a, b – произвольные действительные числа. Рассмотрим множество чисел вида z = a + bi, (1) где i – некоторый символ (объект), коммутирующий с действительными числами при умножении, то есть bi = ib для любого b ∈ R, и удовлетворяющий условию i 2 = −1, или i 2 = 1, или i 2 = 0, то есть i 2 = ε, ëàãúÇÖëíêéÇ Ç.Ç. ëàëíÖåõ óàëÖã (2) 121 где ε равно −1, или 1, или 0. Числа a, b называются компонентами сложного числа z, символ i – мнимой единицей. Таким образом, после первого шага процедуры Грассмана–Клиффорда происходит удвоение множества действительных чисел: одно множество R составляют компоненты a чисел (1), а другое – компоненты b. Числа (1) в случае i2 = −1 называются комплексными, в случае i2 = 1 – двойными, а в случае i2 = 0 – дуальными. Множество комплексных чисел обозначается C. Сумма, разность и произведение этих чисел находятся по законам элементарной алгебры с учетом условия (2). Согласно этому условию, произведения комплексных, двойных и дуальных чисел находятся по формулам (a + bi)(c + di) = ac − bd + (ad + bc)i, (a + bi)(c + di) = ac + bd + (ad + bc)i, (a + bi)(c + di) = ac + (ad + bc)i соответственно. Во всех случаях пр