E-Book Overview
Пособие содержит основные теоретические сведения по рассматриваемому разделу курса физики, списки литературы, подробно разобранные примеры решения типовых задач. Разработано в помощь студентам при выполнении домашних заданий, состоящих в самостоятельном решении задач
E-Book Content
1. КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ Основные теоретические сведения Положение материальной точки (МТ) в пространственной системе отсчета r задается ее радиус-вектором ra = {xa , ya , za } — вектором, проведенным из начала координат в данную точку а (рис. 1.1). При движении МТ ее радиус-вектор y меняется. Функция, выражающая изменение радиус-вектора во времени, называется законом или уравнением движения. Закон a движения можно записать как в векторной, yа r так и в координатной форме ra zа ⎧ x = x(t ), r r ⎪ (1.1) r = r (t ) или ⎨ y = y (t ), x xа ⎪ z = z (t ). ⎩ z Знание закона движения МТ позволяет Рис 1.1. получить всю информацию о ее движении. r r В частности, скорость V и ускорение a МТ определяются формулами r r dr r dV r =V и = a. (1.2) dt dt
Соответственно для проекций скорости и ускорения справедливы формулы dx = Vx , dt dVx = ax , dt
dy = Vy , dt dVy = ay , dt
dz = Vz , dt dVz = az . dt
(1.3) (1.4)
r Зная закон движения, можно определить вектор перемещения Δr , пройденный путь S, радиус кривизны траектории и другие дополнительные характеристики движения. Задачи, в которых по известному закону движения путем его дифференцирования определяются скорость, ускорение и другие дополнительные кинематические характеристики движения, называются прямыми задачами кинематики. Соответственно задачи, в которых по известным дополнительным характеристикам движения “восстанавливается” закон движения, называются обратными задачами кинематики. Обратные задачи значительно труднее прямых. В простейших случаях они сводятся к интегрированию дифференциальных уравнений (1.3) и (1.4) методом разделения переменных. Например, если задана зависимость проекции ускорения от времени ax(t), то уравнение (1.4) можно записать в виде dVx = ax(t).dt. Интегрируя левую и правую части этого выражения, получаем формулу
Vx (t ) = ∫ ax (t ) ⋅ dt + C1 ,
(1.5)
где постоянная интегрирования С1 определяется из начальных условий, т.е. по заданному значению проекции скорости в начальный момент времени VOX (см. пример 2). Аналогично, зная VX(t) можно записать уравнение (1.3) в виде dx=Vx(t)dt и, соответственно, получить формулу x(t ) = ∫ Vx (t ) ⋅ dt + C2 ,
(1.6)
где постоянная интегрирования C2 определяется по заданному значению проекции в начальный момент времени xo (см. пример 2). В упрощенном виде решение кинематических задач можно представить в виде следующей схемы (рис.1.2):
dx = Vx dt x(t)
Vx(t) x = ∫ Vx (t ) ⋅ dt + C1
dVx = ax dt
ax(t)
V x = ∫ a x ( t ) ⋅ dt + C 2
Рис.1.2.Схема решения прямой и обратной задач кинематики. Если в процессе решения задачи возникает необходимость сопоставить движение МТ в двух системах y y’ отсчета, одна из которых {K} неподвижна, а другая {K’} K’ K движется относительно первой со скоростью Vo, то используr ются преобразования Галилея. V0 Например, если в начальный момент времени оси систем 0’ 0 координат {K} и {K’} совпадают, а система {K’} движется V0. t x x’ x’ со скоростью Vo, направленной x вдоль оси OX (рис.1.3), то для z соответствующих координат z’ МТ можно записать Рис.1.3. К преобразованиям Галилея. ⎧ x = x′ + V0 ⋅ t , ⎪ ⎪ y = y′, ⎨ ⎪ z = z′, t = t ′. ⎩⎪ Из преобразований Галилея следует закон сложения скоростей
r r r V = V '+ V0
(1.7)
Для приведенного примера (рис.1.3) в координатной форме он выглядит следующим образом Vx = Vx’ + Vo , Vy = Vy’ , Vz = Vz’. Перед решением задач своего варианта рекомендуется разобрать приведенные ниже примеры. Их нумерация соответствует порядковым номе