математический анализ: методические рекомендации для студентов Iii курса математического факультета

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный педагогический университет» Математический факультет Кафедра математического анализа Математический анализ Методические рекомендации для студентов III курса математического факультета V семестр Екатеринбург 2007 2 Данное пособие является составной частью учебно-методического комплекса по дисциплине «Математический анализ» (3 курс, 5 семестр) и призвано оказать помощь студентам в самостоятельной работе по изучению теоретического материала, выполнению индивидуальных заданий. В него включены: программа курса, тематические планы лекций и практических занятий, материалы для практических занятий, домашних заданий и контрольных работ, а также вопросы и задачи к экзамену. Составители: Фомина Н.Г. Содержание 1. Программа курса …………………………………………………………… 3 2. Лекции ……………………………………………………………………… 4 3. Практические занятия ……………………………………………………… 5 4. Материалы для практических занятий и домашних заданий …………… 6 5. Материалы для контрольной работы ……………………………………... 8 6. Вопросы к экзамену ………………………………………………………... 9 7. Задачи к экзамену ………………………………………………………..... 10 Литература ……………………………………………………………………. 11 Приложение. Методические советы студентам ……………………………. 12 1. Программа курса Функции многих переменных. Введение в теорию функций многих переменных. Метрика и норма в Rn. Окрестности точек, сходимость последовательностей в Rn. Открытые и замкнутые множества, компактность и связность множеств в Rn. Функции многих переменных (ФМП), их линии (поверхности) уровня, графики. Предел ФМП в точке. Эквивалентность определений предела по Коши и Гейне. Непрерывность ФМП. Теоремы о локальных и глобальных свойствах непрерывных функций многих переменных. Компактные множества и теорема Вейерштрасса. Дифференцируемость и дифференциал ФМП. Геометрический смысл дифференцируемости и дифференциала функции двух переменных. Достаточные условия дифференцируемости. Производная по направлению и градиент, геометрический смысл градиента. Производные и дифференциалы высших порядков. Равенство смешанных производных. Формула Тейлора. Локальные экстремумы: необходимые и достаточные условия существования. Глобальный экстремум. Условный экстремум; метод множителей Лагранжа. Неявные функции. Условия существования, непрерывности и дифференцируемости неявных функций. Мера Жордана плоской области и ее свойства, измеримость по Жордану. Интегральное исчисление функций многих переменных. Понятие двойного интеграла Римана. Условия существования двойного интеграла. Вычисление двойного интеграла путем сведения его к повторному. Основные свойства двойного интеграла. Отображения плоских областей. Переход к полярным координатам. Замена переменных под знаком двойного интеграла. Приложения двойного интеграла в геометрии и механике. Понятие тройного интеграла. Кривые на плоскости и в пространстве, спрямляемые кривые. Определение криволинейного интеграла первого рода. Основные свойства и вычисление криволинейного интеграла первого рода. Определение криволинейного интеграла второго рода; его свойства; вычисление. Формула Грина-Остроградского. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрир