E-Book Overview
Разбирается одна из трудных задач логики, придуманная известным логиком Раймондом Смаллианом. Приведена серия указаний, приводящих к решению.
E-Book Content
Ïðîáëåìà òðåõ èäîëîâ
Êàðïîâ Þðèé Ãëåáîâè÷
ÏÐÎÁËÅÌÀ ÒÐÅÕ ÈÄÎËΠÎäíà èç òðóäíûõ çàäà÷ ëîãèêè, ïðèäóìàííàÿ èçâåñòíûì ëîãèêîì Ðàéìîíäîì Ñìàëëèàíîì, ôîðìóëèðóåòñÿ òàê. «Â íåêîòîðîì ïîðÿäêå ñòîÿò òðè Èäîëà: Èäîë Ïðàâäû. Èäîë Ëæè è Èäîë Äèïëîìàòèè. Èäîë Ïðàâäû âñåãäà ãîâîðèò ïðàâäó. Èäîë Ëæè âñåãäà ëæåò, Èäîë Äèïëîìàòèè îòâå÷àåò ñëó÷àéíî: òî ëæåò, òî ãîâîðèò ïðàâäó. Ìîæíî ëè òðåìÿ âîïðîñàìè, êîòîðûå òðåáóþò òîëüêî îòâåòà «Äà» èëè «Íåò» è êàæäûé èç êîòîðûõ ìîæíî çàäàòü òîëüêî îäíîìó èç Èäîëîâ, îïðåäåëèòü ïîðÿäîê ðàññòàíîâêè Èäîëîâ? Èäîëû ïîíèìàþò ëþáûå âîïðîñû, íî îòâå÷àþò íà íèõ íà ñâîåì ÿçûêå «Õà» èëè «Õî», è íèêòî íå çíàåò òîãî, îçíà÷àåò «Õà» óòâåðäèòåëüíûé, à «Õî» îòðèöàòåëüíûé îòâåò èëè íàîáîðîò». Çàäà÷à ÿâëÿåòñÿ íåïðîñòîé.  ðàáîòå «Òhå hardest logical puzzle ever», îïóáëèêîâàííîé â æóðíàëå The Harvard Review of Philosophy â 1996 ã., ïðîôåññîð Ìàññà÷óñåòñêîãî Òåõíîëîãè÷åñêîãî Èíñòèòóòà George Boolos íàçûâàåò ýòó ïðîáëåìó îäíîé èç òðóäíåéøèõ êîãäà-ëèáî ôîðìóëèðîâàâøèõñÿ â ëîãèêå. Ðàáîòó ýòó ìîæíî íàéòè íà ñàéòå http://people.ucsc.edu/~iburke/three gods.pdf. Ëþáîìó ÷åëîâåêó ñòîèò ïîäóìàòü íàä åå ðåøåíèåì, ïðåæäå ÷åì îáðàùàòüñÿ ê îòâåòó. Ïðåïîäàâàòåëü èëè ëþáîé ÷åëîâåê, çíàþùèé ðåøåíèå, íå äîëæåí ëèøàòü äðó-
È Â ØÓÒÊÓ È Â ÑÅÐÜÅÇ
ãîãî óäîâîëüñòâèÿ ñàìîñòîÿòåëüíî ðåøèòü ýòó íåïðîñòóþ ïðîáëåìó. Âìåñòî òîãî, ÷òîáû ñîîáùàòü ðåøåíèå çàòðóäíÿþùåìóñÿ ñòóäåíòó, ïðåïîäàâàòåëü ìîæåò âûñêàçàòü åìó ïîñëåäîâàòåëüíî îäíó èëè íåñêîëüêî èç ñëåäóþùèõ ïîäñêàçîê-óêàçàíèé äëÿ íàïðàâëåíèÿ åãî ðàññóæäåíèé â ïðàâèëüíîå ðóñëî. Ïåðâûå 13 óêàçàíèé ñïîñîáñòâóþò ïîñëåäîâàòåëüíîìó, âñå áîëåå ãëóáîêîìó, ïîíèìàíèþ ïðîáëåìû, îáëåã÷àÿ íàõîæäåíèå ðåøåíèÿ; ïîñëåäíåå ôàêòè÷åñêè ôîðìóëèðóåò ýòî îêîí÷àòåëüíîå ðåøåíèå. Çàìåòèì, ÷òî çäåñü ìû ïðåäëàãàåì çíà÷èòåëüíî áîëåå ïðîñòîé ïóòü ê ðåøåíèþ ýòîé ïðîáëåìû, ÷åì òîò, êîòîðûé ïðåäñòàâëåí â âûøåóïîìÿíóòîé ðàáîòå. Ïî-âèäèìîìó, ïðèâåäåííîå çäåñü ðåøåíèå ñíèìàåò ñ äàííîé ïðîáëåìû õàðàêòåðèñòèêó «ñàìîé òðóäíîé èç êîãäà-ëèáî ôîðìóëèðîâàâøèõñÿ», ñâîäÿ åå ðåøåíèå ê ïðîñòûì è ïðîçðà÷íûì ðàññóæäåíèÿì, äîñòóïíûì ñòóäåíòàì ìëàäøèõ êóðñîâ è èíòåðåñóþùèìñÿ øêîëüíèêàì, åäâà îñâîèâøèì ïåðâûå ïîíÿòèÿ ëîãèêè. Óêàçàíèÿ ê ðåøåíèþ: 1. Äëÿ óïðîùåíèÿ ðåøåíèÿ ïîëåçíî îòáðîñèòü óñëîâèå î ñîáñòâåííîì ÿçûêå èäîëîâ, ñ÷èòàÿ, ÷òî îíè îòâå÷àþò «Äà» èëè «Íåò». Ïðè ðåøåíèè ñëîæíîé çàäà÷è âñåãäà ëó÷øå ñíà÷àëà ðåøèòü áîëåå ïðîñòóþ çàäà÷ó, à ïîòîì âåðíóòüñÿ ê ïåðâîíà÷àëüíîé ïîñòàíîâêå.
85
Êàðïîâ Þ.Ã. 2. Öåëüþ çàäàâàåìûõ âîïðîñîâ ÿâëÿåòñÿ îïðåäåëåíèå ïîðÿäêà ðàññòàíîâêè Èäîëîâ, è óäîáíî ñðàçó çàïèñàòü âñå èñõîäíîå ìíîæåñòâî íåîïðåäåëåííîñòè. Âîçìîæíûé ïîðÿäîê ðàññòàíîâêè ìîæåò áûòü îäíèì èç ñëåäóþùèõ øåñòè: {ÏËÄ, ÏÄË, ËÏÄ, ËÄÏ, ÄÏË, ÄËÏ}. Íàøè âîïðîñû äîëæíû áûòü ñôîðìóëèðîâàíû òàê, ÷òîáû â êîíöå êîíöîâ áûëà îïðåäåëåíà òîëüêî îäíà èç ýòèõ øåñòè ðàññòàíîâîê, â êîòîðîé äåéñòâèòåëüíî íàõîäÿòñÿ Èäîëû. Îíà ìîæåò áûòü, êîíå÷íî, ëþáîé èç óêàçàííûõ â ýòîì ìíîæåñòâå. 3. Î÷åâèäíî, ÷òî êàæäûé îòâåò «Äà» èëè «Íåò» ëþáîãî èç Èäîëîâ íà ëþáîé âîïðîñ ðàçáèâàåò ìíîæåñòâî âîçìîæíûõ ðàññòàíîâîê íà äâà (âîçìîæíî, ïåðåñåêàþùèõñÿ!) ïîäìíîæåñòâà ðàññòàíîâêè, ïðè êîòîðûõ ñïðàøèâàåìûé Èäîë ìîæåò îòâåòèòü «Äà», è ðàññòàíîâêè, ïðè êîòîðûõ ñïðàøèâàåìûé Èäîë ìîæåò îòâåòèòü «Íåò». Ñëåäóþùèé âîïðîñ ñíîâà ðàçîáüåò êàæäîå ìíîæåñòâî íà äâà ïîäìíîæåñòâà è ò. ï. 4. ßñíî, ÷òî ïî ñîîáðàæåíèÿì ñèììåòðèè íà÷àòü çàäàâàòü âîïðîñû ìîæíî ëþáîìó èç Èäîëîâ. Íàïðèìåð çàäàäèì âîïðîñ: «Âåðíî ëè, ÷òî 2 × 2 = 4?» êðàéíåìó ëåâîìó èäîëó. Åãî îòâåò «Äà» ìîæåò áûòü ïîëó÷åí ïðè âîçìîæíûõ èñõîäíûõ ðàññòàíîâêàõ Èäîëîâ {ÏËÄ, ÏÄË, ÄÏË, ÄËÏ}, ïîñêîëüêó íà ýòîò âîïðîñ îòâåòèòü «Äà» ìîæåò ëèáî Èäîë Ïðàâäû îí ãîâîðèò âñåãäà òîëüêî ïðàâäó, ëèáî Èäîë Äèïëîìàòèè, êîòîðûé ãîâîðèò âñå, ÷òî óãîäíî. Ïîíÿòíî, ÷òî îòâåò «