´tica Estad´ıstica Matema
´tica Estad´ıstica Matema
Edilberto Cepeda Cuervo
Departamento de Estad´ıstica Facultad de Ciencias Universidad Nacional de Colombia Sede Bogot´a
´tica Estad´ıstica Matema
c Edilberto Cepeda Cuervo
Departamento de Estad´ıstica Facultad de Ciencias Universidad Nacional de Colombia c Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias Departamento de Estad´ıstica
Edici´ on, 2008 Bogot´ a, Colombia ISBN 978-958-719-070-0
Impresi´ on: Proceditor Ltda.
[email protected] Bogot´ a, Colombia Diagramaci´ on en LATEX : Ana Mar´ıa Rojas Dise˜ no de car´ atula: Andrea Kratzer
Catalogaci´ on en la publicaci´ on Universidad Nacional de Colombia Cepeda Cuervo, Edilberto, 1959 – Estad´ıstica Matem´ atica / Edilberto Cepeda Cuervo. – Bogot´ a : Universidad Nacional de Colombia. Facultad de Ciencias. Departamento de Estad´ıstica, 2008 ix, 107 p.: 13il. Incluye referencias bibliogr´ aficas ISBN 978-958-719-070-0 1. Estad´ıstica matem´ atica 2. Probabilidades 3. Variables aleatorias 4. Teorema del l´ımite central CDD-21 519 / 2008
´Indice general 1. Distribuciones de funciones de variables aleatorias
1
1.1. Distribuciones discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1.1. Distribuci´on Uniforme Discreta . . . . . . . . . . . .
1
1.1.2. Distribuci´on Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.1.3. Distribuci´on Geom´etrica . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.1.4. Distribuci´on Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.1.5. Distribuci´on Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.1.6. Distribuci´on Binomial negativa . . . . . . . . . . . .
6
1.2. Distribuciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.2.1. Distribuci´on normal . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.2.2. Distribuci´on χ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.2.3. Distribuci´on gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.2.4. Distribuci´on t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.2.5. Distribuci´on F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
1.2.6. Teorema del l´ımite central . . . . . . . . . . . . . . .
20
1.3. Otras funciones de variables aleatorias . . . . . . . . . . . .
23
2. Estimadores
26
2.1. Conceptos b´asicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
26
´INDICE GENERAL
vi
2.2. M´etodo de los momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
2.3. Estimaciones de m´axima verosimilitud . . . . . . . . . . . .
32
2.4. Error de estimaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
2.5. Eficiencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
2.6. Consistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
3. Modelos estad´ısticos
41
3.1. Estad´ıstico suficiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
3.2. Familia exponencial uniparam´etrica . . . . . . . . . . . . . .
44
3.3. Familia exponencial uniparam´etrica en forma natural . . . .
45
3.4. Familia exponencial biparam´etrica . . . . . . . . . . . . . .
48
3.5. Familia exponencial biparam´etrica . . . . . . . . . . . . . .
49
4. Propiedades de los estimadores
53
4.1. Comparaci´on de estimadores . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
4.