Les Préfaisceaux Comme Modèles Des Types D’homotopie

´ ASTERISQUE 308 ´ LES PREFAISCEAUX COMME ` MODELES DES TYPES D’HOMOTOPIE Presheaves as models for homotopy types Denis-Charles Cisinski Soci´ et´ e Math´ ematique de France 2006 Publi´ e avec le concours du Centre National de la Recherche Scientifique Denis-Charles Cisinski Laboratoire Analyse, Géométrie et Applications, CNRS (UMR 7539), Institut Galilée, Université Paris 13, Avenue Jean-Baptiste Clément, 93430 Villetaneuse, France. E-mail : [email protected] Url : http://www.math.univ-paris13.fr/~cisinski/ Classification mathématique par sujets (2000). — 55-02, 18F20, 18G50, 18G55, 18G30, 54B30, 54B40, 55P57, 55P60, 55P92, 55U35, 55U40. Mots clefs. — homotopie, catégorie de modèles, préfaisceau, catégorie test locale, extension de Kan homotopique, théorie de l’homotopie équivariante. à Aude LES PRÉFAISCEAUX COMME MODÈLES DES TYPES D’HOMOTOPIE Denis-Charles Cisinski Résumé. — Grothendieck a introduit dans À la poursuite des champs la notion de catégorie test, petite catégorie ayant par définition la propriété que les préfaisceaux sur celle-ci sont naturellement des modèles pour les types d’homotopie des CW-complexes. Un exemple bien connu est celui de la catégorie des simplexes (les préfaisceaux correspondant étant alors les ensembles simpliciaux). Grothendieck a de plus dégagé la notion de localisateur fondamental, ce qui donne une description axiomatique de la théorie de l’homotopie des petites catégories, et permet d’étendre la notion de catégorie test relativement à des localisations de la catégorie homotopique des CWcomplexes. Ce texte peut être vu comme une prolongation de la théorie de l’homotopie de Grothendieck. On démontre en particulier deux conjectures de Grothendieck : toute catégorie de préfaisceaux sur une catégorie test admet canoniquement une structure de catégorie de modèles fermée au sens de Quillen, et le localisateur fondamental minimal définit la théorie de l’homotopie des CW-complexes. On montre par ailleurs comment une version locale de la théorie permet d’englober dans un même schéma la théorie de l’homotopie équivariante. La mise en œuvre de ce programme passe par la construction et l’étude systématiques de structures de catégorie de modèles sur des catégories de préfaisceaux quelconques, ainsi que par l’étude de la théorie de l’homotopie des petites catégories en suivant et en complétant les différentes contributions de Quillen, Thomason et Grothendieck. c Astérisque 308, SMF 2006 vi Abstract (Presheaves as models for homotopy types). — Grothendieck introduced in Pursuing Stacks the notion of test category. These are by definition small categories on which presheaves of sets are models for homotopy types of CW-complexes. A well known example is the category of simplices (the corresponding presheaves are then simplicial sets). Moreover, Grothendieck defined the notion of basic localizer which gives an axiomatic approach to the homotopy theory of small categories, and gives a natural setting to extend the notion of test category with respect some localizations of the homotopy category of CW-complexes. This text can be seen as a sequel of Grothendieck’s homotopy theory. We prove in particular two conjectures made by Grothendieck: any category of presheaves on a test category is canonically endowed with a Quillen closed model category structure, and the smallest basic localizer defines the homotopy theory of CW-complexes. Moreover, we show how a local version of the theory allows to consider in a unified setting the equivariant homotopy theory as well. The realization of this program goes through the construction and the study of model category structures on any category of presheav