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LEXANDER SCHNELL
1, de 1'« aptitude» 'ique), de la « pos s pleinement, telle jes derniers repré tntale 39 , le ce pouvoir pos j'une anthropolo ~nologique. Il faut ~uïci, À partir de ir-imageant », une our le pouvoir ré humaine »), a dé Ippelons l' « endo mme nous l'avons )ur utiliser une ex ~néisation » a ceci 1 tant que « réel », Ijectif ». Et - voilà \ément dans cette ~ que le « réel» ! l réflexion ». Cela r n'imE0rte quelle ion » o! Et c'est
première fonction le soi n' apparais nais qu'en même ln imageante une 1 œuvre un projet e manière consti ce qui n'apparaît e en même temps Je ce projet d'une ns imageantes de nation), iJ en dé iue projet-de-soi,
. da ns notre ou vrage 'ogie, Würzburg, Kb 1. 24), 2011. iers ouvrages, le rôle objectivante.
L'infinitésimal et l'incommensurable
MARC RrCHIR
1. Les opérations les plus élémentaires, dans la pratique, qui constitueront -I la base phén9Jllénologique de l'arithmétique et de la géométrie, sont s, ~ doute cell~ s , de compter" d~ ~~r des d' ~ ces e~-~ïon-g,lIeu ,.e~~les ~nstrU1re ~es reguhè~Efl-termes e Ja conslde le menmoderHisés, eehrilllp"~-d'abord le nombre comme pluralité unifiée • d'unités, ensuite ~ choix d'unités de mesur~ avec la pOSSIbIlIte de les diviser iêlonc la possibilité de rapports rationnels entre deux longueurs, c'est-à-dire aussi bien leur commensurabilité), enfin la possession (et la définition) d'ins truments stables (les fameux « règle et compas» d'Euclide) pour la construc tion des figures . Tout cela constitue des techniques qui ne sont pas encore les mathématiques bien que nous soyons en possession de la base phénomé nologique pour son institution symbolique - et nous n' ent ron as 'ci dans 1 se de c ui fait la écificité de son institution grec ue, par exemple le nombre (l'unité, la manas, dIa, n:.ll,st pas.-!!!! n01!L!e, pas plus au u
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MARC RICHIR
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(si a = 1, n
> b)
étant entendu que nous comprenons ici par grandeur l'expression numérique d'une longueur, en termes de nombres ou rapports d'unités de mesure. Au sens aui sera le nôtre ici la mathé ti ue ro ment dite s'institue _ a\Lec-.L découverte des grandeurs incommensurables, qui sont littér ement des -pam )tes ou des contradictions pUlSqU ' 1 s agit rts lionne s ». Le premier exemple, e p us connu, vien e ce que la somme de s s lon gueurs des deux côtés d'un triangle rectangle égale le carré de la longueur de son hypoténuse (théorème dit de Pythagore), si bien que, par exemple si le dit triangle est isocèle et si l'on choisit chacun des côtés comme unité de mesure, on a 12 + 12 = 2, en sorte que le rapport de la longueur de l'un des côtés à la longueur de l'hypoténuse est, dans notre écriture, y'2, incommensurable à l'unité (irrationnel). Le aradoxe est que le se ment de droite constitué ar l'hypoténuse est bien « réel », qu'il a donc bien une longueur, mais que celle-ci est impossible à mesurer, quelle que soit l'unité de mesure choisie. Certes, les Grecs ont inventé une méthode de calcul de cette longueur par approximations successives, donc une technique d'approche (un algorithme) de l'incommensu rable d'aussi près que l'exige le contexte pratique, mais ce, sans aller à l'infini (à la limite des approximations), si bien que le paradoxe demeure de savoir si y'2 est encore un nombre, s'il est, ou non, radicalement in terminé, ou seule ment indéterrnmêpour nous, le passage de l'être-en-puissance à l'être-en-acte demeurant, quant à lui, inaccessible. Le même paradoxe se pose, on le sait, à propos du rapport entre la longueur du diamètre d d'une circonférence cf et la longueur de cette dernière. Rapport pareillement irrationnel, que l'on écrit cf Id = 7r, avec cette circonstance pour ainsi dire aggravante qu si 4f-tlSt..uJU!Q!!Ibre déterminé, c'es