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TEORIA DEI FENOMENI ALEATORI Sandro Bellini Politecnico di Milano
Prefazione Queste brevi note sono state scritte per gli studenti del corso di Teoria dei fenomeni aleatori da me tenuto per il corso di studio di Ingegneria delle telecomunicazioni presso il Politecnico di Milano. Tutto il materiale qui presentato, su probabilit`a, variabili casuali, processi casuali e stima si trova in testi classici. Lo scopo principale `e di fornire una sintesi, senza che si debba estrarre l’informazione da pi` u fonti e, inevitabilmente, con notazioni diverse. Il primo capitolo `e dedicato alla probabilit`a ed alle variabili casuali. In molti testi viene dapprima dedicato lungo tempo al caso discreto (le probabilit`a). Solo successivamente si introducono le variabili casuali discrete. Infine con molta cautela si propongono le variabili casuali continue, le funzioni di distribuzione e le (terribili) densit`a di probabilit`a, e ancora si rimanda (come fosse argomento assai difficile) il caso di due o pi` u variabili casuali. A me pare invece che convenga mostrare quanto prima quale debba essere il modo di assegnare le probabilit`a nel caso delle variabili casuali continue, che ha grande importanza nelle applicazioni ingegneristiche, sfatando subito quell’aura di difficolt`a del tutto ingiustificata. Se si `e assorbito il concetto di integrale non vi `e davvero nessun problema sostanziale. Gli unici inciampi possibili sono formali, e derivano dal non comprendere pienamente la notazione: occorre distinguere tra il risultato numerico dell’esperimento e l’argomento della funzione densit`a di probabilit`a. Su questo `e davvero opportuno spendere attenzione, perch´e poi il percorso diventa facile. La teoria della probabilit`a fornisce strumenti molto generali per il calcolo. Imparare ad usarli con agilit`a `e certamente un’arte, che richiede predisposizione, fantasia, interesse, curiosit`a, amore per i problemi matematici. Probabilmente pochi sono destinati a diventare artisti, ma tutti possono essere dei buoni artigiani, e questo `e quello che conta per il progresso dell’umanit`a. Il secondo capitolo vuole fornire i risultati fondamentali che rendono la teoria delle probabi` necessario lit`a un mezzo per fare previsioni affidabili sui risultati di esperimenti casuali. E chiarire che il risultato del singolo esperimento non `e prevedibile e tuttavia non solo vi sono grandezze medie che `e possibile prevedere ma si pu`o anche stimare l’accuratezza di tali previsioni. Con ci`o si spera di fare pulizia di (incredibili) false credenze sulla legge dei grandi numeri, ancora diffuse non solo nella popolazione meno acculturata, che fanno rabbrividire chiunque capisca qualcosa di probabilit`a. Il terzo capitolo, pi` u breve, introduce i processi casuali, che sono collezioni di infinite variabili casuali. Per la loro trattazione `e conveniente introdurre grandezze sintetiche come la funzione di autocorrelazione, mostrandone qualche uso tipico. Nel quarto capitolo si vuole fornire una trattazione introduttiva ai problemi di stima dei parametri di una distribuzione e di stima di variabili casuali non osservate sulla base di una o pi` u variabili casuali osservate. Si presentano solo i fondamenti di alcuni tra i numerosi problemi di questa natura. In una prima lettura pu`o essere conveniente omettere le parti del testo in carattere pi` u piccolo, senza che per questo si perda la continuit`a del discorso. Si potr`a tornare su questi
ii approfondimenti in un secondo tempo. La collocazione attuale dell’insegnamento nel curriculum di Ingegneria delle telecomunicazioni `e tale che non si possono presumere conoscenze approfondite di analisi matematica n´e (come sarebbe utile) di teoria dei segnali. Se ad esempio fossero gi`a acquisiti strumenti come la funzione delta, la trasformata di Fourier e l’analisi dei sistemi lineari nel dominio del tempo e delle frequenze ne trarrebber