олимпиада ломоносов по математике (2005-2008)

Олимпиада «Ломоносов» по математике (2005—2008). — М.: Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ, 2008. — 48 с., илл. Задачи олимпиады «Ломоносов» составлены большим коллективом авторов — сотрудников механико-математического факультета и факультета ВМиК. Тексты решений написаны А. В. Бегунцем, П. А. Бородиным и И. Н. Сергеевым* (под общей редакцией И. Н. Сергеева). В книге приведены варианты олимпиады «Ломоносов» по матема­ тике 2005—2008 гг., а также задания олимпиады механико-математиче­ ского факультета МГУ для 8 —10-классников. Для учащихся старших классов, учителей математики, абитуриен­ тов. *П ри п о д д е р ж к е РГНФ (п р о ек т № 08-06-00144а). (с) Механико-математический факультет, 2008 г. (с) Оригинал-макет. А. Н. Швец, 2008 г. (с) Иллюстрации. А. Н. Швец, 2008 г. ОЛИМПИАДА «ЛОМОНОСОВ» О лимпиада «Ломоносов» по математике проводится с 2005 г. ежегодно в апреле — мае. Вариант ©2005Л 1. Вычислить (* -у ) ( * 4- у 4) _ 2ху(А -у3) х2—у2 х2+ х у + у 2 при х = 1,2^22, у = - 2 ,7 ^ 8 . 46 2. 45 Решить неравенство 3-21~ * + 1 ^ 2х—I ^ 1 1—2 ~ х ' 3. Найти площадь трапеции АВСО с боковой стороной ВС = 5, если расстояния от вершин А и И до прямой ВС равны 3 и 7 соответственно. 4. Решить уравнение 1о§4( 4 зш 2 2 х) = 2 - Ь § 2( - 2 * § х ). N 5. На окружности взята точка А, на её диаметре ВС — точки О и Е, а на его продолжении за точку В — точка Р. Найти ВС, если АВАО = ААСП, АВАР = АСАЕ, ВО = 2, ВЕ = 5 и ВР = 4. 6. Решить неравенство 5|х| < х(3х="" +="" 2="" -="" 2л/8="" —2х="" —х2=""> 7. Основанием пирамиды служит треугольник со сторонами 5, 12 и 13, а её высота образует с высотами боковых граней (опущенны­ ми из той же вершины) одинаковые утлы, не меньшие 30°. Какой наибольший объём может иметь такая пирамида? 3 4 ОЛИМПИАДА «л о м о н о с о в » 8. Найти все значения а, при каждом из которых уравнение 4х — \3х - \х + а\ \ = 9\х - 1| имеет хотя бы один корень. 9. Группа отдыхающих в течение 2 ч 40 мин каталась на моторной лодке по реке с постоянной скоростью (относительно воды) попе­ ременно то по течению, то против: в каждую сторону — в общей сложности не менее, чем по 1 ч. В итоге лодка прошла путь в 40 км (относительно берега) и, отчалив от пристани Л, причалила к при­ стани В на расстоянии 10 км от А. В какую сторону текла река? Какова при этих условиях максимальная скорость её течения? 10. П ри каждом натуральном п тело Ф„ в координатном простран­ стве задано неравенством 3|х|п + |8у|" + |2|п < 1,="" а="" тело="" ф="" —="" объединение="" всех="" тел="" ф„.="" найти="" объём=""> Решения 1. Ответ: 64. х = 1,2...22, у = —2,7...7 8 46 45 (х-у)(х4- у 4) _ 2ху(х3 - / ) х2- у 2 х2+ х у + у 2 = (х - у)(х2 + у2) - 2ху{х - у) = ( х - у)(х - у)1 = ( х - у)3 = (1,2... 22 + 2,7... 78)3 = 43 = 64. 2. Ответ: 0 < х="" ^="" 1о§2=""> ВАРИАНТ ©2005.1 5 Рис. 1 Рис. 2 3. Ответ: 25. Проведём через середину М стороны АП прямую ЕР || ВС (рис. 1). Тогда ДОЕМ = ААРМ , М Н = Ш ± Ш = 2±2 = 5 ^лвсо = 5егвс —МН • ВС = 5 • 5 = 25. 4. Ответ: х = —| + то