E-Book Overview
Учебное пособие. — М.: Физический факультет МГУ, 2010. — 197 с.
Пособие написано на основе специального курса лекций, который авторы в течение ряда последних лет читают на физическом факультете МГУ.В книге рассматривается применение методов математического моделирования к задачам распространения и дифракции установившихся колебаний в сплошных средах. Основное внимание уделяется так называемому резонансному случаю, когда длина возбуждаемых волн имеет тот же порядок, что и характерные размеры неоднородностей.Данный курс входит в учебный план кафедры математики физического факультета МГУ, но может представлять интерес и для более широкого круга студентов, аспирантов и научных работников, специализирующихся в области математической физики и ее приложений.
E-Book Content
ÌÎÑÊÎÂÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ èì. Ì.Â.ËÎÌÎÍÎÑÎÂÀ
Ôèçè÷åñêèé ôàêóëüòåò
À.Ã. Ñâåøíèêîâ, È.Å. Ìîãèëåâñêèé
Ïîñîáèå ïî êóðñó
Ìàòåìàòè÷åñêèå çàäà÷è òåîðèè äèôðàêöèè
Ìîñêâà 2012
Ñ â å ø í è ê î â À. Ã., Ì î ã è ë å â ñ ê è é È. Å.
Ìàòåìàòè÷åñêèå çàäà÷è òåîðèè äèôðàêöèè / Ó÷åáíîå ïîñîáèå.
Ì.: Ôèçè÷åñêèé ôàêóëüòåò ÌÃÓ, 2010.
Ïîñîáèå ïî êóðñó ¾Ìàòåìàòè÷åñêèå çàäà÷è òåîðèè äèôðàêöèè¿ íàïèñàíî íà îñíîâå ñïåöèàëüíîãî êóðñà ëåêöèé, êîòîðûé àâòîðû â òå÷åíèå ðÿäà ïîñëåäíèõ ëåò ÷èòàþò íà ôèçè÷åñêîì ôàêóëüòåòå ÌÃÓ.  êíèãå ðàññìîòðèâàåòñÿ ïðèìåíåíèå ìåòîäîâ ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ê çàäà÷àì ðàñïðîñòðàíåíèÿ è äèôðàêöèè óñòàíîâèâøèõñÿ êîëåáàíèé â ñïëîøíûõ ñðåäàõ. Îñíîâíîå âíèìàíèå óäåëåíî òàê íàçûâàåìîìó ¾ðåçîíàíñíîìó¿ ñëó÷àþ, êîãäà äëèíà âîçáóæäàåìûõ âîëí èìååò òîò æå ïîðÿäîê, ÷òî è õàðàêòåðíûå ðàçìåðû íåîäíîðîäíîñòåé. Äàííûé êóðñ âõîäèò â ó÷åáíûé ïëàí êàôåäðû ìàòåìàòèêè ôèçè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÌÃÓ, íî ìîæåò ïðåäñòàâëÿòü èíòåðåñ è äëÿ áîëåå øèðîêîãî êðóãà ñòóäåíòîâ, àñïèðàíòîâ è íàó÷íûõ ðàáîòíèêîâ, ñïåöèàëèçèðóþùèõñÿ â îáëàñòè ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè è åå ïðèëîæåíèé. Ðåöåíçåíòû: ä.ô.-ì. í., ïðîôåññîð À.Ñ. Èëüèíñêèé, ä.ô.-ì. í., ïðîôåññîð Þ.À. Ïèðîãîâ
c Ôèçè÷åñêèé ôàêóëüòåò ÌÃÓ ○ èì. Ì.Â. Ëîìîíîñîâà, 2010
c Ñâåøíèêîâ À.Ã., ○
Ìîãèëåâñêèé È.Å., 2010
ÎÃËÀÂËÅÍÈÅ Ïðåäèñëîâèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ã ë à â à 1.
Ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè òåîðèè äèôðàêöèè (ïîñòàíîâêà è îáîñíîâàíèå). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. Óñòàíîâèâøèåñÿ êîëåáàíèÿ (10). 1.2. Âåêòîð Óìîâà Ïîéíòèíãà (12). 2. Ïîòåíöèàëû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. Âåêòîðíûé è ñêàëÿðíûé ïîòåíöèàëû (13). 2.2. Âåêòîð Ãåðöà (15). 3. Ôóíêöèè Áîðãíèñà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. Ïîëÿ ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî òèïîâ (17). 3.2. Ïðåäñòàâëåíèå ðåøåíèÿ îäíîðîäíîé ñèñòåìû óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà â âèäå ñóïåðïîçèöèè ïîëåé ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî òèïà (20). 4. Äîïîëíèòåëüíûå óñëîâèÿ â çàäà÷àõ äèôðàêöèè óñòàíîâèâøèõñÿ êîëåáàíèé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1. Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ (27). 4.2. Óñëîâèÿ íà áåñêîíå÷íîñòè (33). 4.3. Ïðèíöèï ïðåäåëüíîé àìïëèòóäû (35). 4.4. Ïðèíöèï ïðåäåëüíîãî ïîãëîùåíèÿ (36). 4.5. Óñëîâèÿ íà ðåáðå (36). 5. Ëåììà Ëîðåíöà. Ôîðìóëû Ñòðýòòîíà×ó. . . . . . . . . . . . . . . 5.1. Ëåììà Ëîðåíöà (37). 5.2. Ñëåäñòâèÿ ëåììû Ëîðåíöà (40). 6. Òåîðåìû åäèíñòâåííîñòè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è (42). 6.2. Ëåììà Ðåëëèõà (44). 6.3. Ñêàëÿðíàÿ çàäà÷à äèôðàêöèè íà ìåòàëëè÷åñêîì òåëå (46). 6.4. Ñêàëÿðíàÿ çàäà÷à äèôðàêöèè íà ïðîçðà÷íîì òåëå (47). 6.5. Ýëåêòðîìàãíèòíûé àíàëîã ëåììû Ðåëëèõà (48).
6 9 9 13 17
27
37 42
4
Îãëàâëåíèå
7. Ðàçðå