математические методы исследования экономики

МИНИСТЕРСТВО ФИНАНСОВ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ВСЕРОССИЙСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ НАЛОГОВАЯ АКАДЕМИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ЭКОНОМИКИ Методические рекомендации Москва – 2010 Рецензент Криволапов С.Я. Математические методы исследования экономики: Методические рекомендации. – М.: ВГНА Минфина России, 2010. — 70 с. Утверждено и рекомедовано решением Учебно-методического совета факультета информационных технологий ВГНА Минфина России в качестве учебно-методического издания (протокол № от 2010 г.) Учебное пособие подготовлено в соответствии с учебной программой по математике и включает основные темы данного курса. Предназначено для студентов всех факультетов ВГНА. © ВГНА Минфина России, 2010 © Криволапов С.Я., 2010 2 Занятие 1 Графический метод решения задачи линейного программирования Общая задача линейного программирования имеет следующий вид. Требуется найти экстремум функции n f   c j x j  max (или min) j1 при ограничениях n  a ij x j  (или , или ) b i , i  1,  , m. j1 Кроме того, на все или на часть переменных может быть наложено требование неотрицательности: x j  0. Канонической задачей линейного программирования называют такую задачу линейного программирования, в которой все ограничения (кроме требований неотрицательности) имеют вид равенства; на все переменные наложено условие неотрицательности: n f   c j x j  max min, n j1  a ij x j  b i , i  1,  , m, j1 x j  0, j  1,  , n. Допустимым решением X задачи линейного программирования называется такой набор переменных x 1 ,  , x n , который удовлетворяет всем заданным ограничениям. Оптимальным решением X  называется такое допустимое решение, при котором целевая функция достигает оптимального (максимального или минимального) значения. Если задача линейного программирования содержит две неизвестные переменные: n  2, она может быть решена графическим методом. Решение задачи линейного программирования графическим методом включает следующие этапы. 1. На плоскости x 1 Ox 2 строятся графики прямых, уравнения которых получаются в результате замены в ограничениях знаков 3 неравенств на знаки равенств. 2. Находятся полуплоскости, определяемые каждым из ограничений задачи. 3. Строится область допустимых решений — область, содержащую точки, координаты которых удовлетворяют всем ограничениям. 4. Пусть целевая функция имеет вид: f  c 1 x 1  c 2 x 2 . Строится вектор nc 1 ; c 2  — нормальный вектор прямой c 1 x 1  c 2 x 2  0. Вектор n указывает направление возрастания целевой функции. 5. Строится начальная прямая целевой функции c 1 x 1  c 2 x 2  0 (она проходит через начало координат перпендикулярно вектору n). Чтобы найти максимум целевой функции, нужно прямую передвигать в направлении нормального вектора до крайней угловой точки допустимого множества решений. Чтобы найти минимум целевой функции, нужно прямую передвигать в направении, противоположным направлению нормального вектора до крайней угловой точки допустимого множества решений. Полученная точка и дает решение задачи. Примеры 1. Решить задачу линейного программирования: f  2x 1  x 2  max, x1  2 x2  2 x 1  x 2  3, x 1  0, x 2