E-Book Overview
Красноярск: ИЦ Ин-та естеств. и гуманит. наук СФУ, 2007. - 34 с. Методическая разработка для студентов физического факультета.
Содержание. Линейные операторы и матрицы. Геометрические примеры линейных операторов. Арифметические примеры линейных операторов. Алгебраические примеры линейных операторов. Замена базиса. Арифметические примеры. Замена базиса. Геометрические примеры. Собственные значения и собственные векторы. Линейные операторы в евклидовых пространствах. Самосопряженные операторы. Ортогональные операторы. Полярное разложение. Теоретические задачи.
E-Book Content
À.Í. ÎÑÒÛËÎÂÑÊÈÉ
ËÈÍÅÉÍÛÅ ÎÏÐÅÐÀÒÎÐÛ: ÏÐÈÌÅÐÛ È ÇÀÄÀ×È
ÔÅÄÅÐÀËÜÍÎÅ ÀÃÅÍÒÑÒÂÎ ÏÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÞ ÔÃÎÓ ÂÏÎ "Ñèáèðñêèé ôåäåðàëüíûé óíèâåðñèòåò" Èíñòèòóò åñòåñòâåííûõ è ãóìàíèòàðíûõ íàóê
À.Í. ÎÑÒÛËÎÂÑÊÈÉ
ËÈÍÅÉÍÛÅ ÎÏÅÐÀÒÎÐÛ: ÏÐÈÌÅÐÛ È ÇÀÄÀ×È
Ìåòîäè÷åñêàÿ ðàçðàáîòêà
Êðàñíîÿðñê 2007
ÓÄÊ 512.87 ÁÁÊ 22.151.51 O-795 Ðåöåíçåíòû: ä-ð ôèç.-ìàò. íàóê, ïðîô. Î.Â. Êàïöîâ êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê, äîö. Ì.È. Ãîëîâàíîâ Î-795 Ëèíåéíûå îïåðàòîðû: ïðèìåðû è çàäà÷è: ìåòîäè÷åñêàÿ ðàçðàáîòêà/À.Í. Îñòûëîâñêèé: ÈÖ Èí-òà åñòåñòâ. è ãóìàíèò. íàóê ÑÔÓ, Êðàñíîÿðñê, 2007. - 34 ñ.
Ìåòîäè÷åñêàÿ ðàçðàáîòêà ïðåäíàçíà÷åíà äëÿ ñòóäåíòîâ ôèçè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà. Ðåêîìåíäóåòñÿ ÷èòàòü [15].
1
Ëèíåéíûå îïåðàòîðû è ìàòðèöû
1.1
Ãåîìåòðè÷åñêèå ïðèìåðû ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ
Ïðèìåð. Îáîçíà÷èì ÷åðåç E ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî ñâîáîäíûõ ãåîìåòðè÷åñêèõ âåêòîðîâ. Ïóñòü a ôèêñèðîâàííûé, à x ïðîèçâîëüíûé âåêòîðû èç E . Ðàññìîòðèì îïåðàòîð íà E îïåðàòîð
A(x) = (x, a)
a . |a|2
(1)
Ïðîâåðèì ëèíåéíîñòü îïåðàòîðà A, íàéäåì åãî ÿäðî è îáðàç, âûÿñíèì ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë îïåðàòîðà. Èñïîëüçóÿ àëãåáðàè÷åñêèå ñâîéñòâà ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ è ñâîéñòâà ëèíåéíûõ îïåðàöèé íàä âåêòîðàìè, ïîëó÷èì
A(x + y) = (x + y, a)
a a = ((x, a) + (y, a)) 2 = 2 |a| |a|
a a + (y, a) = A(x) + A(y); |a|2 |a|2 a a A(αx) = (αx, a) 2 = α(x, a) 2 = αA(x). |a| |a| Òàêèì îáðàçîì, îïåðàòîð A ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì. Íàéäåì ÿäðî KerA îïåðàòîðà A. Òàê êàê a 6= 0, òî = (x, a)
A(x) = 0 ⇐⇒ (x, a) = 0 ⇐⇒ x ⊥ a. Èíûìè ñëîâàìè, KerA ñîñòîèò èç âñåõ âåêòîðîâ, ïåðïåíäèêóëÿðíûõ ê âåêòîðó a: KerA = {x ∈ E | x ⊥ a}. Èç ãåîìåòðè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé dim KerA = 2. Íàéäåì ImA. Âåêòîð A(x) êîëëèíåàðåí âåêòîðó a ñ êîýôôèöèåíòîì ïðîïîðöèîíàëüíîñòè α = (x, a)/|a|2 . Òîãäà ImA = A(E) = {αa | α ∈ R} 2
åñòü ìíîæåñòâî âåêòîðîâ, êîëèíåàðíûõ âåêòîðó a. Î÷åâèäíî, dim ImA =
1. Èç ãåîìåòðè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé (ïîñòðîéòå ÷åðòåæ è ïðîâåðüòå!) ñëåäóåò, ÷òî A åñòü îðòîãîíàëüíîå ïðîåêòèðîâàíèå íà ïðÿìóþ
r = ta.  çàäà÷àõ 1.11.5 x ïðîèçâîëüíûé, n, a ôèêñèðîâàííûå íåíóëåâûå âåêòîðà èç E . Òðåáóåòñÿ: à)
ïðîâåðèòü ëèíåéíîñòü îïåðàòîðà
á)
íàéòè
â)
âûÿñíèòü ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë îïåðàòîðà
á)
íàéòè
KerA, imA
A;
è îïðåäåëèòü èõ ðàçìåðíîñòü
;
A åñëè: (x, n) a, ((a, n) 6= 0); 1) A(x) = (a, n) n 2) A(x) = x − (x, n) 2 ; |n| (x, n) 3) A(x) = x − a, ((a, n) 6= 0); (a, n) n 4) A(x) = x − 2(x, n) 2 ; |n| a 5) A(x) = 2(a, x) 2 − x. |a|  çàäà÷àõ 612 r, x ïðîèçâîëüíûå, n, a ôèêñèðîâàííûå íåíóëåâûå âåêòîðà èç E . Òðåáóåòñÿ: à) âûðàçèòü ôîðìóëîé îáðàç âåêòîðà x; åñòü
KerA, dimA
è îïðåäåëèòü èõ ðàçìåðíîñòü åñëè
A
:
6) îðòîãîíàëüíîå ïðîåêòèðîâàíèå íà ïðÿìóþ [r, a] = 0; 7) ïðîåêòèðîâàíèå íà ïëîñêîñòü (r, n) = 0 ïàðàëëåëüíî âåêòîðó a ((a, n) 6= 0); 8. Îðòîãîíàëüíîå ïðîåêòèðîâàíèå íà ïëîñêîñòü (r, n) = 0; 9) ïðîåêòèðîâàíèå íà ïðÿìóþ [r, a] = 0 ïàðàëëåëüíî ïëîñêîñòè
(r, n) = 0 ((a, n) 6= 0); 10) îðòîãîíàëüíîå îòðàæåíèå â ïëîñêîñòè (r, n) = 0; 11) îðòîãîíàëüíîå îòðàæåíèå â ïðÿìîé [r, a]