применение эвм в электроэнергетике: текст лекций

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Медведева С.Н. ПРИМЕНЕНИЕ ЭВМ В ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИКЕ Текст лекций ПЕНЗА 2002 Тема: Методы решения дифференциальных уравнений Решение с помощью рядов Тейлора. Если функция f(x) обладает на промежутке (х0,х) производными до (n+1) порядка включительно, то функция может быть разложена в ряд f ' ( x0 ) f "( x0 ) f (n) ( x0 ) 2 f ( x) = f ( x0 ) + ( x − x0 ) + ( x − x0 ) + .. + ( x − x0 ) n + ξ гд n! 1! 2! е ξ– остаточный член, если его представить по аналогии через производную, то в форме Лагранжа. Ряд без остаточного члена называется рядом Тейлора. Преобразуем ряд Тейлора в формулу конечных приращений f ( x + Δx) = f ( x) + f ' ( x) f " ( x) f (n) ( x) Δx + (Δx) n , (Δx) 2 + .. + n! 1! 2! (1) где Δх=х-х0. Практически мы получили итерационную формулу, поскольку по ней можно просчитать значения функции на заданном интервале. Достоинство ряда (1) в том, что с его помощью можно получить аналитическое решение дифференциального уравнения. Дано дифференциальное уравнение f ' ( x) = ϕ( x) при начальных условиях х=х0, у=у0. Продифференцировав n раз зависимость f ' ( x) = ϕ( x) , получим выражения в алгебраическом виде для коэффициентов ряда Тейлора. Пример 1. С помощью ряда Тейлора найти решение дифф. 1 уравнения y ' = при у(0)=0 в виде алгебраического выражения. 1+ x 1 1⋅ 2 (n − 1)! Решение. y" = − y'" = y ( n) = (−1) n −1 . 2 3 (1 + x) (1 + x) (1 + x) n y" (0) 1 =− Для х0=0 имеем 2! 2 y ' " ( 0) 1 = 3! 3 1 y ( n ) ( 0) = (−1) n −1 . Δх=х. n! n (−1) n −1 n 1 2 1 3 x + x − .. + x . n 2 3 Достоинство этого метода в возможности получения аналитического решения. Тогда решением ДУ будет y ≈ x − Недостатки: 1. Переменные должны быть разделены. 2. Зависимость д.б. дифференцируема достаточно высокое число раз и требуется брать и вычислять производные высоких порядков. 3. Погрешность решения очень мала для начала интервала и резко возрастает у конца, т.е. погрешность неравномерна на всем интервале решения. Метод Эйлера. Дано дифференциальное уравнение y ' = f ( x, y ) при начальных условиях х=х0, у=у0. Требуется найти его решение в некотором промежутке х0,х. Делим этот промежуток на n частей (равных или неравных, чаще равных). На участке (х0,х1) полагаем y = y 0 + f ( x0 , y 0 ) ⋅ ( x − x0 ) т.е. вместо искомой интегральной кривой М0К0 берем ее касательную М0 М1 . получаем В точке х1 приближенное значение искомого решения y1 = y 0 + f ( x0 , y 0 ) ⋅ ( x1 − x0 ) . Далее повторяем на участке (х1,х2) y = y1 + f ( x1 , y1 ) ⋅ ( x − x1 ) т.е. вместо искомой интегральной кривой М0К0 берем ее касательную М1М2 к интегральной кривой М1К1. При этом возникает двойная погрешность. Продолжаем процесс, для точки хi получаем приближенное значение искомого решения yi +1 = yi + f ( xi , yi ) ⋅ Δx . (2) Формула (2) – формула итерац. процесса по методу Эйлера. Достоинство: более общий вид ДУ, без разделения переменных Недостатки: низкая точность, высокая погрешность, пропорциональная квадрату шага по х. Погрешность равномерно растет на интервале решения. Уменьшить ее можно, уменьшив шаг по х, но возрастет число шагов итерации. Модифицированный метод Эйлера. Второго порядка точности, погрешность пропорциональна кубу шага по х. Итерационные формулы имеют вид: yi +1 / 2 = yi + f ( xi , yi ) ⋅ Δx / 2 , (y0=u0) (3) Δx y i + 1 = y i + f ( xi + , yi +1 / 2 ) ⋅ Δx . 2 (другое название «предиктор-корректор») yi +1 = yi + Δx ⋅ (y0=u0) (4) f ( xi , yi ) + f ( xi +1 , y *i +1 ) . 2 Первая из формул этого мето