E-Book Overview
Матрицы и действия над ними. Определители квадратных матриц. Применение определителей. Системы линейных уравнений. Системы линейных уравнений (продолжение). Системы линейных уравнений (продолжение). Элементы векторной алгебры. Элементы векторной алгебры (продолжение). Элементы векторной алгебры (продолжение). Лекции. Элементы векторной алгебры (продолжение) Лекция. Элементы аналитической геометрии на плоскости Лекции. Аналитическая геометрия в пространстве И Практические занятия.
E-Book Content
БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ИНФОРМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКИ
КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ (АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ) ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Составил кандидат физ.-мат. наук, доцент Горунович С.А.
МИНСК, 2004
Лекция 1 МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ § 1. МАТРИЦЫ Понятие матрицы имеет важное значение в экономике и бизнесе, поскольку многие математические модели экономических процессов компактно и без потери наглядности записываются на языке матриц. Пусть P - множество элементов определенной структуры. Это могут быть, на пример, действительные или комплексные числа. Таблица вида ⎛ a11 a12 L a1n ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ a21 a 22 L a 2 n ⎟ A= ⎜ L L L L ⎟ , ⎜ ⎟ ⎜ am1 a m 2 L amn ⎟ ⎝ ⎠ составленная из элементов множества P , содержащая m строк и n столбцов, называется матрицей порядка m × n . Числа a11 ,..., amn называются элементами матрицы. В дальнейшем для определенности будем полагать P = R . Компактно матрица записывается в виде A = aij или A = [ aij ], где
i = 1,2,..., m – индекс строки, а j = 1,2,..., n – индекс столбца. Говорят, что элемент aij матрицы A расположен на пересечении i -й строки и j -го столбца. Две матрицы A и B порядка m × n считаются равными, если равны все их соответствующие элементы, т.е. aij = bij , для всех i = 1,2,..., m и j = 1,2,..., n . Если m = n , т.е. число её строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной n-го порядка. Элементы a11 , a 22 ,..., a nn образуют главную диагональ квадратной матрицы. Квадратная матрица называется диагональной, если равны нулю все её элементы, кроме элементов главной диагонали, т.е.:
⎛ a11 0 ⎜ ⎜ 0 a 22 A= ⎜ L L ⎜⎜ 0 ⎝0
L L
0 ⎞ ⎟ 0 ⎟ . L L⎟ ⎟⎟ L a nn ⎠
Если у диагональной матрицы все элементы главной диагонали равны единице, то она называется единичной, обозначается буквой E и имеет вид
2
⎛1 ⎜ ⎜0 E =⎜ ... ⎜⎜ ⎝0
0 ... 0 ⎞ ⎟ 1 ... 0 ⎟ . ... ... 0 ⎟ ⎟⎟ 0 ... 1 ⎠
Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю. Возможны два варианта треугольной матрицы:
⎛ b11 0 L 0 ⎞ L a1n ⎞ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ b21 b22 L 0 ⎟ L a2n ⎟ , или B= ⎜ L L L L ⎟. L L⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎟ ⎜ bm1 bm 2 L bmn ⎟ L a mn ⎠ ⎝ ⎠ Матрица А называется треугольной сверху, B – треугольной снизу.
⎛ a11 a12 ⎜ ⎜ 0 a 22 A= ⎜ L L ⎜⎜ 0 ⎝0
Матрица любого размера, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается буквой O . Квадратная матрица называется симметрической, если равны между собой все её элементы, симметричные относительно главной диагонали, т.е. aij = a ji для всех i, j = 1,2,..., n . Особый интерес представляют матрицы, содержащие один столбец или одну строку. Их называют вектором-столбцом, или вектором-строкой соответственно. Такие матрицы имеют вид:
⎛ a1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜a ⎟ A = ⎜ 2 ⎟ - вектор-столбец, B = (b1 M ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ am ⎠
b2 L bn ) - вектор-строка.
§ 2. ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ Сложение матриц Суммой двух матриц A = aij
и B = bij
одинакового порядка m × n
называется матрица C = cij того же порядка, такая что cij = aij + bij , для всех
i = 1,2,..., m, j = 1,2,..., n , т.е. при сложении матриц происходит сложение соответствующих элементов. 3
Пример 1.